Metodos Numericos
Páginas: 4 (890 palabras)
Publicado: 17 de octubre de 2011
INTERPOLACION DE LAGRANGE
La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándarpara nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δi,j, que puederesolverse inmediatamente.
Ejemplos
La función tangente y su interpolador.
Se desea interpolar f(x) = tan(x) en los puntos
x0 = − 1.5 f(x0) = − 14.1014
x1 = − 0.75 f(x1) = − 0.931596
x2 = 0 f(x2) =0
x3 = 0.75 f(x3) = 0.931596
x4 = 1.5 f(x4) = 14.1014
Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cadacomponente de la base polinómica.
La base polinómica es:
Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los y los valores de las abscisas:Por medio del polinomio interpolante de Lagange, hallar el valor aproximado de
la función f(x) en el punto x= 3.5, si f(x) es una función discreta representada
por la siguiente tabla devalores:
x 1 4 6
f(x) 1.5709 1.5727 1.5751
Los Lagrangianos son:
Lo (x) = (x-4) * (x-6)/((1-4)*(1-6))
-0.2
L1(x) = (x-1) * (x-6) / ((4 –1) * (4-6))
-1
L2(x) = (x-1)* (x-4) / ((x-1)* (x-4))
Los Lagrangianos valuados en x=3.5 son:
L0(3.5) = 0.08333 L1(3.5)= 1.04167 L2(3.5)= -0.12500
El valor del polinomio interpolante en x=3.5 vale 1.57225.
Este valor esuna aproximación a f(3.5).
Método del Trapecio
Corresponde al caso en donde el polinomio de aproximación es de primer orden.
En donde f1(x) corresponde a una línea recta que se representacomo:
El área bajo la línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites a y b:
El resultado de la integración es:
Ejemplos:
Utilizando la regla extendida del...
La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándarpara nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δi,j, que puederesolverse inmediatamente.
Ejemplos
La función tangente y su interpolador.
Se desea interpolar f(x) = tan(x) en los puntos
x0 = − 1.5 f(x0) = − 14.1014
x1 = − 0.75 f(x1) = − 0.931596
x2 = 0 f(x2) =0
x3 = 0.75 f(x3) = 0.931596
x4 = 1.5 f(x4) = 14.1014
Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cadacomponente de la base polinómica.
La base polinómica es:
Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los y los valores de las abscisas:Por medio del polinomio interpolante de Lagange, hallar el valor aproximado de
la función f(x) en el punto x= 3.5, si f(x) es una función discreta representada
por la siguiente tabla devalores:
x 1 4 6
f(x) 1.5709 1.5727 1.5751
Los Lagrangianos son:
Lo (x) = (x-4) * (x-6)/((1-4)*(1-6))
-0.2
L1(x) = (x-1) * (x-6) / ((4 –1) * (4-6))
-1
L2(x) = (x-1)* (x-4) / ((x-1)* (x-4))
Los Lagrangianos valuados en x=3.5 son:
L0(3.5) = 0.08333 L1(3.5)= 1.04167 L2(3.5)= -0.12500
El valor del polinomio interpolante en x=3.5 vale 1.57225.
Este valor esuna aproximación a f(3.5).
Método del Trapecio
Corresponde al caso en donde el polinomio de aproximación es de primer orden.
En donde f1(x) corresponde a una línea recta que se representacomo:
El área bajo la línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites a y b:
El resultado de la integración es:
Ejemplos:
Utilizando la regla extendida del...
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