metodos numericos

NÚMERO DE
CONDICIÓN.
MÉTODOS
ITERATIVOS.

Ejemplo 1. Sea A la
siguiente matriz
6 2 1
 2 4 1

 1 1 4
−1 0 −1


−1
0 

−1 
3

Entonces queremos determinar los elementos de L y de U tales
que A = LU con
L=


1 0 0 0
 l21 1 0 0 


 l31 l32 1 0 
l41 l42 l43 1

y
U=



u11 u12 u13
 0 u22 u23

 0
0 u33
0
0
0


u14
u24 

u34 
u44NÚMERO DE
CONDICIÓN.
MÉTODOS
ITERATIVOS.

A este se le conoce como el método de Doolitle. Si se requiere
que todos los elementos de la diagonal de U sean uno, se tiene
el método de Crout, y si lii = uii se tiene Cholesky.
La porción de la multiplicación de L con U que determina el
primer renglón de A da lugar a cuatro ecuaciones:
u11 = 6, u12 = 2, u13 = 1 y u14 = −1
La porción de lamultiplicación que determina los elementos
restantes de la primera columna de A da
l21 u11 = 2, l31 u11 = 1 y l41 u11 = −1, de donde l21 = 1/3,
l31 = 1/6 y l41 = −1/6.

NÚMERO DE
CONDICIÓN.
MÉTODOS
ITERATIVOS.

Vamos ahora con el segundo renglón de A
2/3 + u22 = 4, u22 = 10/3
1/3 + u23 = 1, u23 = 2/3
−1/3 + u24 = 0, u24 = 1/3,
y para determinar los elementos restantes de la segundacolumna de A obtenemos
2/6 + (10/3)l32 = 1, entonces l32 = 1/5
−2/6 + (10/3)l42 = 0, entonces l42 = 1/10

NÚMERO DE
CONDICIÓN.
MÉTODOS
ITERATIVOS.

Este proceso continúa, alternando columnas y renglones entre L
y U para obtener
L=


1
0
0
0
 1/3
1
0
0 


 1/6
1/5
1
0 
−1/6 1/10 −9/37 1
y
U=




6
2
1
−1
 0 10/3 2/3
1/3 


 0
0
37/10−9/10 
0
0
0
191/74

Algoritmo Factorización Directa.
NÚMERO DE
CONDICIÓN.
MÉTODOS
ITERATIVOS.

Entrada: n, y (aij ), i=1,n, j=1,n
Salida : L y U
Seleccionar l11 y u11 tal que
l11 u11 = a11
Si l11 u11 = 0, escribe(’Factorización imposible’)
y PARAR
2. Para j=2,n
u1j = a1j /l11 Primer Renglón de U
lj1 = aj1 /u11 Primera columna de L
3. Para i=2,n-1
3.1. Seleccionar lii uii talesque
lii uii = aii − i−1 lik uki
k=1
Si lii uii = 0 escribe(’fact. Imposible’) y PARA
3.2 Para j=i+1,n
uij = l1 [aij − i−1 lik ukj ]
k=1
ii
lji =

1
ui i [aji

−

i−1
k=1 ljk uki ]

NÚMERO DE
CONDICIÓN.
MÉTODOS
ITERATIVOS.

4. Seleccionar lnn y unn tales que
n−1
lnn unn = ann − k=1 lnk ukn
5. Salida (lij ), (uij )
6. PARAR

NÚMERO DE
CONDICIÓN.
MÉTODOS
ITERATIVOS.TEOREMA 1. Si el procedimiento de eliminación Gaussiana
puede aplicarse al sistema Ax = b, sin intercambio de
renglones, entonces la matriz A puede factorizarse como el
producto de una matriz triangular inferior L con una matriz
triangular superior U, tal que
A = LU.
DEFINICIÓN. Se dice que una matriz A de n × n es
estrictamente dominante diagonalmente si se satisface que
|aii | > nj=1,j=i |aij |, i=1,n
TEOREMA 2. Si A es una matriz estrictamente dominante
diagonalmente, entonces A es no singular y además se puede
efectuar eliminación Gaussiana con cualquier sistema de la
forma Ax = b para obtener su solución única sin intercambio
de renglones o columnas y los cálculos son estables con
respecto al crecimiento de los errores de redondeo.
Ver Demo. en el BURDEN.DEFINICIÓN. Una matriz simétrica A de n × n se llama
positiva definida si xt Ax > 0 para todo vector columna
n-dimensional x distinto del vector cero.

FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY.
NÚMERO DE
CONDICIÓN.
MÉTODOS
ITERATIVOS.

TEOREMA 3. Si A es una matriz n × n positiva definida, A es
no singular.
Ver demo en el Burden.
Si A es una matriz n × n positiva definida, entonces A tiene una
factorizaciónde la forma
A = LLt ,
donde L es una matriz triangular inferior. La factorización se
puede lograr del algoritmo de factorización directa con lii = uii ,
i=1,n.
DEMO. Como A es definida positiva, por los teoremas 1 y 3 se
tiene que A se puede factorizar como A = LU. Como A es
positiva definida, aii > 0, i=1,n.

NÚMERO DE
CONDICIÓN.
MÉTODOS
ITERATIVOS.

Con la notación del...