Metodos Numericos

MÉTODOS NUMÉRICOS. Curso 2009/10.
Examen final de febrero. 3—2—2010.
Teoría y cuestiones.
T1 (5 puntos) Determinar una ecuación en diferencias lineal homogénea de coeficientes constantes homogénea de orden dos que tenga por solución yn = 2n (1 + n).
T2 (15 puntos) Métodos de Adams—Bashforth de k pasos.
Problemas.
1. (20 puntos) Encontrar explícitamente el único método de Runge—Kutta de ordentres que
satisface el siguiente tablero de Butcher
0
1
2
3
4

a21
a31
b1

a32
b2

b3

Aplicar dicho método para encontrar la aproximación con tamaño de paso h = 0.5 de y(1),
donde y(t) satisface el problema de condiciones iniciales
y 00 + 2ty 0 + t2 y = cos t, y(0) = y 0 (0) = 1.
2. (20 puntos) Estudiar el orden, la estabilidad y la convergencia según los valores de losparámetros de los métodos multipaso de la forma
yn + a1 yn−1 + a0 yn−2 = h(b2 fn + b1 fn−1 + fn−2 /9)
donde fn = f (tn , yn ). Obtener el de mayor orden y aplicarlo, con un paso de 0.1, para
obtener y(1.4), siendo y(t) la solución del problema y 0 = ty con y(1.1) = 1, e inicializando
con un método de Taylor adecuado.
3. (20 puntos) Sea el problema
∂ 2u
∂ 2u
x ∂u
∂u
(x, y) + 2 (x, y) −
(x, y)− y (x, y) + u(x, y) = 2, (x, y) ∈ (0, 2) × (0, 1)
2
∂x
∂y
2 ∂x
∂y
donde u(x, y) = x2 + y en la frontera del rectángulo (0, 2) × (0, 1). Para valores h = k = 0.5
determinar, con orden de error O(h2 + k2 ), los valores aproximados u(xi , 0.5) siendo xi = ih,
1 ≤ i ≤ 3.
Prácticas.
P1 Se ha integrado diez revoluciones de un problema de Dos Cuerpos con un método RungeKutta y se han obtenidolos siguientes errores en función del tiempo de CPU empleado:

1

T iempodeCP U
Error
0.15segundos
4.63133
0.37segundos
2.68374
1.73segundos 7.52386 · 10−2
8.00segundos 7.51888 · 10−4
37.67segundos 7.51662 · 10−6
(a) (5 puntos) Elimina los datos que consideres anómalos y explica por qué lo son.
(b) (10 puntos) Calcula la recta de regresión entre X = log10 T iempodeCP U e Y =
log10Error y deduce el orden del método Runge-Kutta.
(c) (5 puntos) Estima el tiempo de CPU necesario para que el error sea de 10−9 unidades.
Solución del examen.
Determinar una ecuación en diferencias lineal homogénea de coeficientes constantes homogénea de orden dos que tenga por solución yn = 2n (1 + n).
Solución. Dado que la solución es
yn = 2n (1 + n) = 2n + n2n ,
tenemos que la ecuación
yn+2+ ayn+1 + byn = 0
tiene por polinomio característico
p(t) = (t − 2)2 = t2 − 4t + 4,
por lo que
yn+2 − 4yn+1 + 4yn = 0.
Encontrar explícitamente el único método de Runge—Kutta de orden tres que satisface el
siguiente tablero de Butcher
0
1
2
3
4

a21
a31
b1

a32
b2

b3

Aplicar dicho método para encontrar la aproximación con tamaño de paso h = 0.5 de
y(1), donde y(t)satisface el problema de condiciones iniciales
y 00 + 2ty 0 + t2 y = cos t, y(0) = y 0 (0) = 1.
2

Solución. Las ecuaciones que deben satisfacerse son
b1 + b2 + b3 = 1,

(1)

c2 = a21 ,

(2)

c3 = a31 + a32 ,

(3)

1
b2 c2 + b3 c3 = ,
2

(4)

1
b2 c2 + b3 c2 = ,
2
3
3

(5)

1
b3 a32 c2 = .
6

(6)

Como c2 = 1/2, de la ecuación (2) obtenemos que a21 = 1/2. Como c3 =3/4, de las ecuaciones
(4) y (5) tenemos que
¯ 1 3 ¯
¯
¯
¯ 2 49 ¯
1
¯
¯
1
16
b2 = ¯ 3 3 ¯ = ,
¯ 1
¯
3
¯ 2 49 ¯
¯ 1
¯
4

16

1
2
1
4
1
2
1
4

1
2
1
3
3
4
9
16

y

Entonces de la ecuación (1)

¯
¯
¯
¯
b3 = ¯
¯
¯
¯

b1 = 1 −

¯
¯
¯
¯
4
¯= .
¯
9
¯
¯

2
1 4
− = .
3 9
9

De la ecuación (6)
a32 =

1
3
= ,
6b3 c2
4

yfinalmente, de la ecuación (3)
a31 = c3 − a32 =

3

3 3
− = 0.
4 4

Así, el tablero de Butcher es
0
1
2
3
4

1
2

3
4
1
3

0
2
9

4
9

Consideramos la variable x = y 0 , y el problema de condiciones iniciales de orden dos se reescribe
como el sistema de orden uno
⎧ 0
⎨ y = x,
x0 = cos t − t2 y − 2tx,
⎩
y(0) = x(0) = 1.
Tomamos

f(t, y, x) =

µ

x
cos t − t2...