Metodos numericos

MATERIA: “MÉTODOS NUMÉRICOS”

CUATRIMESTRE: SEPTIEMBRE – DICIEMBRE DE 2011

CONTENIDO

1.- INTRODUCCIÓN Y PRECISIÓN EN LOS CÁLCULOS NUMÉRICOS

1.1.- Antecedentes, definiciones y aplicaciones
1.2.- Definición de error y tipos de errores
1.3.- Exactitud y precisión
1.4.- Modelos matemáticos

2.- SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES

2.1.- Método de bisección
2.2.- Método de la falsaposición
2.3.- Método de Newton-Raphson

3.- SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

3.1.- Eliminación Gaussiana
3.2.- Método de Gauss-Jordan
3.3.- La matriz inversa

4.- INTERPOLACIÓN

4.1.- Método de interpolación de Newton
4.2.- Método de intepolación de Lagrange

5.- INTEGRACIÓN NUMÉRICA

5.1.- Método de la Regla del Trapecio
5.2.- Método de Simpson 1/3 y 3/8

6.- Ecuacionesdiferenciales

6.1.- Método de Euler y Euler mejorado.
6.2.- Método de Runge-Kutta.

1. INTRODUCCIÓN Y PRECISIÓN EN LOS CÁLCULOS NUMÉRICOS

1.1 Antecedentes, definiciones y aplicaciones

Antecedentes

Métodos sin computadora

Antes de la era de la computadora los ingenieros sólo contaban con tres métodos para la solución de problemas:

1. Se encontraban las soluciones de algunosproblemas usando métodos exactos o analíticos.
2. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones gráficas, las cuales tomaban la forma de gráficas o nomogramas; aunque las técnicas gráficas se utilizan a menudo para resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos. Además, las soluciones gráficas son extremo tediosas y difíciles de implementar.
3. Paraimplementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas de cálculo. Aunque en teoría dichas aproximaciones deberían ser perfectamente adecuadas para resolver problemas complicados, en la práctica se presentan varias dificultades debido a que los cálculos manuales son lentos y tediosos.

Antes del uso de la computadora se gastaba bastante energía en la técnica misma de solución, en lugarde usarla en la definición del problema y su interpretación. Esta situación desafortunada se debía al tiempo y trabajo monótono que se requería para obtener resultados numéricos con técnicas que no utilizaban la computadora.

Desde finales de la década de los cuarenta, la amplia disponibilidad de las computadoras digitales han llevado a una verdadera explosión en el uso y desarrollo de losmétodos numéricos. Existen diversas razones por las cuales se deben estudiar los métodos numéricos:

1. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Son capaces de manipular sistemas de ecuaciones grandes, manejar no linealidades y resolver geometrías complicadas, comunes en la práctica de la ingeniería.
2. En el transcurso de su carrera, es posible que elestudiante tenga la oportunidad de utilizar paquetes disponibles comercialmente, o programas “enlatados” que contengan métodos numéricos.
3. Si usted es conocedor de los métodos numéricos y es hábil en la programación de computadoras, entonces tiene la capacidad de diseñar sus propios programas para resolver problemas.
4. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender aservirse de las computadoras.
5. Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, ya que una de sus funciones es convertir las matemáticas superiores en operaciones aritméticas básicas.

Definición de métodos numéricos

Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverseutilizando operaciones aritméticas.

Es la rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos, de una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permiten resolver problemas matemáticos en los que estén involucrados cantidades numéricas con precisión.

Los métodos numéricos son técnicas algorítmicas...