Metodos numericos

Metodo De Jacobi

El método de Jacobi se basa en escribir el sistema de ecuaciones en la forma:

Partimos de una aproximación inicial para las soluciones al sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores en la ecuación. De esta forma, se genera una nueva aproximación a la solución del sistema, que en determinadas condiciones, es mejor que la aproximación inicial. Esta nueva aproximación sepuede sustituir de nuevo en la parte derecha de la ecuación  y así sucesivamente hasta obtener la convergencia.

      Inicia con una solución aproximada (Semilla),

2. ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir una mejor aproximación partiendo de la aproximación semilla. La fórmula que permite construir la aproximación usando otra se conoce como ecuación de recurrencia.

3. serepite el paso anterior pero usando como semilla la aproximación obtenida.

El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales mas simple y se aplica

sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones.

1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuacióni se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como:

x = c + Bx (1)

donde x es el vector de incógnitas.

2. Se toma una aproximación para las soluciones y a esta se le designa por xo

3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación

xi+1 = c + Bxi (2)

Ejemplo 3.1

Partiendo de (x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones del método de Jacobi para resolver elsistema:

_ 5 x + 2 y = 1

x − 4 y = 0

Solución

Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita correspondiente.

x = 0.20 + 0.00 x − 0.40 y

y = 0.00 + 0.25...

Metodo de la Secante

Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la derivada usando la siguiente aproximación:

Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos:

 Que es la fórmula del método de la secante. Nótese que para poder calcular el valor de , necesitamos conocer  los dos valores anteriores    y  .
Obsérvese tambien, el gran parecido con la fórmula del método de la regla falsa. La diferencia entre una y otra es que mientras el método de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados, el método de la secante es un proceso iterativo y por lomismo,  encuentra la aproximación casi con la misma rapidez que el método de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de éste último de no converger a la raíz, mientras que el método de la regla falsa va a la segura. 
Ejemplo 1
Usar el método de la secante para aproximar la raíz de  , comenzando con  ,    y hasta que  . 
Solución
Tenemos que    y  , que sustituímos en la fórmula de lasecante para calcular la aproximación  :

Con un error aproximado de:

Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raíz | Error aprox. |
0 |   |
1 | 100% |
0.612699837 | 63.2% |
0.653442133 | 6.23% |
0.652917265 | 0.08% |
De lo cual concluímos que la aproximación a la raíz es:
 

Metododel Punto Fijo

Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma

Si la ecuación es  , entonces puede despejarse    ó bien  sumar   en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada. 
Ejemplos:
1) La ecuación    se puede transformar en  .
2) La ecuación     se puede transformar en   . 
Dada la aproximación  , la siguiente iteración se calcula con la fórmula:Supongamos que la raíz verdadera es  , es decir,

Restando las últimas ecuaciones obtenemos:

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si   es contínua en    y diferenciable en  entonces  existe   tal que  .
En nuestro caso, existe    en el intervalo determinado por   y   tal que:

De aquí tenemos que:

O bien,

Tomando valor absoluto en ambos lados,...