metodos numericos

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Funciones y derivada.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.
Algunas veces podemos aproximar funciones complicadas mediante otras funciones más simples
(con las que es más simple trabajar) que dan la exactitud adecuada en ciertas aplicaciones.Comenzaremos estudiando el proceso de linealización que ofrece la derivada y continuaremos estudiando
polinomios de Taylor.
Como sabemos, la tangente a y = f ( x) en un punto x = a, donde la función f es derivable, pasa
por el punto ( a, f (a ) ) con pendiente f ′(a ) y tiene por ecuación y = f (a ) + f ′(a)( x − a ).

Entonces, la recta tangente es la gráfica de la función lineal L( x) := f (a ) +f ′(a)( x − a ). Observa
que, donde esta recta permanezca cerca de la gráfica de f , L( x) ofrecerá una buena aproximación
de f ( x). A la función L( x) se le llama linealización de la función f en el punto a. La aproximación f ( x) ≈ L( x) se llama aproximación lineal de f en el punto a. Observa que L(a) = f (a) y
que L′(a) = f ′(a).

EJEMPLO. Un cálculo sencillo muestra que la aproximaciónlineal de la función f ( x) = x + 1 en el
x
punto a = 0 viene dada por y = 1 + . De forma similar se puede obtener que la aproximación line2
5 x
al de la función f ( x) = x + 1 en el punto a = 3 viene dada por y = + .
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Lección 1. Funciones y derivada.

x
si x está cerca de a = 0.Por ejemplo, si usamos esta aproximación obte2
nemos que 1.2 ≈ 1.10. Observa que 1.2 = 1.095445, con lo cual el error es menor que 10−2. Sin
embargo, si nos alejamos de a = 0 esta aproximación pierde precisión y no es esperable que produzca buenos resultados, por ejemplo, cerca de a = 3. Aquí debemos usar la otra linealización es
5 x
decir, x + 1 ≈ + . Observa que si usamos la primeraobtenemos 3.2 ≈ 2.10, mientras que con
4 4
5 2.2
la segunda aproximación obtenemos 3.2 ≈ +
= 1.8. Recuerda que 3.2 = 1.78885.
4 4
Entonces

x +1 ≈ 1+

Este proceso de aproximación se puede generalizar, siempre que la función f tenga suficientes derivadas, usando polinomios en lugar de la aproximación lineal L( x) := f (a ) + f ′(a)( x − a ).
EJEMPLO. Consideremos la función exponencial f ( x )= e x y el punto a = 0. Entonces la aproximación lineal en a = 0 es, L( x) = 1 + x, puesto que f (0) = 1 y f ′(0) = 1. Por comodidad denotaremos,
en adelante a la función L( x) por P ( x), puesto que se trata de un polinomio de grado 1. Observa
1
′(0) = 1. Buscamos ahora un polinomio de grado dos P2 ( x), de forma que
que P (0) = 1 y P
1
1
x2
. Continuan2
do este proceso, buscamos ahoraun polinomio de grado tres P3 ( x), de forma que P3 (0) = 1,
P2 (0) = 1, P2′(0) = 1 y P2′′(0) = f ′′(0) = 1. No es difícil comprobar que P2 ( x) = 1 + x +

P3′(0) = 1, P3′′(0) = 1 y P3′′′(0) = f ′′′(0) = 1. No es difícil comprobar que P3 ( x) = 1 + x +

x 2 x3
+ .
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Lección 1.Funciones y derivada.

Cada una de estas funciones: y = P ( x), y = P2 ( x), e y = P3 ( x) mejora la aproximación de la fun1
ción exponencial f ( x) = e x . De hecho, si aproximamos el valor de e ≈ 2.71828, que se obtiene para
x = 1, obtenemos los siguientes resultados:
e ≈ P (1) = 2, e ≈ P2 (1) = 2.5, e ≈ P3 (1) = 2.66667.
1

Los polinomios P ( x), P2 ( x) y P3 ( x) se llaman polinomios deTaylor de la función exponencial de
1
ordenes 1, 2 y 3, respectivamente. En general tenemos la siguiente definición.
DEFINICIÓN. Sea f una función con derivadas de orden k , para k = 0,1,… N , en un intervalo que
contiene al punto a en su interior. Para cada n = 0,1,… N , el polinomio
Pn ( x) := f (a) + f ′(a)( x − a) +

f ′′(a)
f ′′′(a)
( x − a)2 +
( x − a )3 +
2!
3!

+

f n ) (a)...