metodos numericos


MÉTODO DE RUNGE – KUTTA y REGLA DE SIMPSON
BALLESTEROS SOSA LUIS PABLO


30/05/2014
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MÉTODO DE RUNGE - KUTTA
La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la seriede Taylor, que es también un método de un paso, es decir, los métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f(X, Y) y de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor sí requiere de laevaluación de derivadas. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de Runge-Kutta sean más simples que el uso de la serie de Taylor.
Un método de Runge-Kutta para resolver ecuacionesdiferenciales ordinarias de primer orden con error del orden de , de uso tan frecuente que en la literatura sobre métodos numéricos se le llama simplemente el Método de Runge-Kutta, se dará a conocersin demostrar y consiste en aplicar la ecuación de recurrencia en donde la función está dada por la expresión:



en el cual


La ecuación anterior se obtiene haciendo un promedio de las cuatropendientes, k1, k2, k3 y k4 a la curva integral, en forma semejante a como se procedió con las pendientes de las tangentes T1 y T2 del error del método de Taylor
EJEMPLO
Resolver

aplicando elmétodo de Runge-Kutta.


SOLUCIÓN
De la condición inicial del problema se tiene que X = 0, y Y = 1; además, h = 0.1. Sustituyendo estos valores en (17) se obtiene:

Llevando estos valores a(16) y el resultante a (12) se obtiene que para X = 0.1 la solución del problema es

Los valores de las ki para este punto obtenido de la solución, son:

luego

Continuando de la misma formase obtiene la solución que se muestra en la siguiente tabla
:
X
Y
k1
k2
k3
k4
0.0
1.0000
0.5000
0.5516
0.5544
0.6127
0.1
1.0554
0.6126
0.6782
0.6823
0.7575
0.2
1.1236
0.75750.8431
0.8494
0.9494
0.3
1.2085
0.9492
1.0647
1.0745
1.2121
0.4
1.3158
1.2119
1.3735
1.3896
1.5872
0.5
1.4545
1.5868
1.8234
1.8517
2.1509



MÉTODO NUMÉRICO: REGLA DE SIMPSON...