metodos numericos

MAT 1105 B

EJERCICIOS RESUELTOS
1. De la siguiente ecuación:
Despejando , se tienen las siguientes ecuaciones de la forma
a)

:

b)

Calcule la raíz por el método de punto fijo, tomando en cuenta el criterio
inicial
, en ambos casos, y determinar cual ecuación converge a una raíz de

y el valor
.

Solución
a) De la ecuación:

1ra. Iteración
Utilizando el valor inicial

seobtiene la derivada:

, se tienen los siguientes valores:

Como el error aun es relativamente grande se tendrá que realizar otra iteración.

El resultado del criterio de convergencia está muy cercano a 1 por lo que se puede decir que el
método converge a un resultado pero que por el momento será lentamente.
2da. Iteración

Pagina

1

3ra. Iteración

Los valores de las próximasiteraciones se muestran en la siguiente tabla:
i

xi

|g’(xi)|

|xi - xi-1|

0

1,00000

1

2,46621

1,07682

1,46621

2
3
4

3,09552
3,30056
3,36214

1,00993
0,99143
0,98613

0,62931
0,20503
0,06158

5
6
7

3,38020
3,38546
3,38699

0,98460
0,98416
0,98403

0,01806
0,00526
0,00153

8

3,38744

0,98399

0,00044

9

3,38757

0,983980,00013

10

3.38760

0.98398

0.00004

Respuesta:
La raíz de la ecuación es la siguiente:

b) De la ecuación:

se obtiene la derivada:

1ra. Iteración
Utilizando el valor inicial

, se tienen los siguientes valores:

Como el error aun es grande se tendrá que realizar otra iteración.
Pagina

2

El resultado del criterio de convergencia es mucho más pequeño a 1 por lo quese podría decir que el
método converge muy rápido, pero se tendrá que ver otra iteración.
2da. Iteración

Respuesta:
El criterio de convergencia
lo que se dirá que:

, es muy grande y el error aumento desde la anterior iteración por

El método no converge con la ecuación
, y el valor inicial
por lo que no se podrá obtener un resultado satisfactorio

2. La función:
Tiene unacantidad infinita de raíces, graficando en el intervalo [-5,6] se tiene:

a) Se quiere emplear el método de la bisección para encontrar una solución aproximada de la primera
raíz de la ecuación
, en el intervalo [0.1, 0.5], con una exactitud de 10-2.
b) Aproximar mediante el método de Newton-Raphson la raíz de
, con una exactitud de 10-5.

, tomando como valor inicial

Solución
a) Resolviendopor el método de bisección, primero se grafica la función en el intervalo:

Pagina

3

y

Raíz

0.2

x
0

0.1

0.2

0.3

0.4

-0.2

0.5

-1

Evaluando la función en los dos puntos se tiene:
( menor a 0)
( mayor a 0 )
Se observa que en el intervalo existe una raíz de la función, cuando un punto es menor que cero y el
otro es mayor que cero, por lo que puedeproceder a resolver la ecuación por el método de bisección:
1ra. Iteración
En primer lugar se divide el intervalo a la mitad y se obtiene un nuevo valor:

y

Raíz

0.2

x
0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.2

Nuevo intervalo

-1

Evaluando la función en este punto:
( menor a 0 )
Este valor también se considera para determinar la exactitud en este método:

Pagina

4

Comoeste valor es mayor a la exactitud requerida de 10-2, se deberá continuar con un nuevo intervalo
en otra iteración.
Comparando con los valores de los extremos:

Se obtiene el nuevo intervalo, con el punto medio y el punto externo que tenga el signo opuesto. Con
lo que el nuevo intervalo será:
,

(es reemplazado con el nuevo valor)
(se mantiene)

2da. Iteración

( menor a 0 )

Elnuevo intervalo es:
,

(es reemplazado con el nuevo valor)
(se mantiene)
y

Raíz

0.2

x
0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.2

Nuevo intervalo

-1

Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla:

Pagina

5

i

error

1

0.1

0.3

0.5

-0,98987

-0,59673

0,22314

0,59673

2

0,3

0,4

0,5

-0,59673

-0,22901

0,22314...