Metodos numericos

M´todos abiertos
e
M´todo de Newton – Raphson
e
M´todo de la Secante
e
Sistemas de ecuaciones no lineales

Resoluci´n de ecuaciones no lineales
o
M´todos abiertos
e

Lic. Ruth Idalia Oliva

M´todos Num´ricos
e
e

Lic. Ruth Idalia Oliva

M´todos num´ricos
e
e

M´todos abiertos
e
M´todo de Newton – Raphson
e
M´todo de la Secante
e
Sistemas de ecuaciones no linealesM´todos abiertos
e

En contraste, los m´todos abiertos descritos en este cap´
e
ıtulo se basan en
f´rmulas que requieren unicamente de un solo valor de inicio x o que
o
´
empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran a la
ra´ Como tales, algunas veces divergen o se alejan de la ra´ verdadera a
ız.
ız
medida que crece el n´mero de iteraciones. Sin embargo,cuando los
u
m´todos abiertos convergen, por lo general lo hacen mucho m´s r´pido
e
a a
que los m´todos que usan intervalos.
e
1

M´todo de punto fijo.
e

2

M´todo de Newton – Raphson,
e

3

M´todo de la secante.
e

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M´todos num´ricos
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M´todos abiertos
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M´todo de Newton – Raphson
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M´todo de la Secante
e
Sistemas de ecuaciones no linealesDesventajas del m´todo de Newton–Raphson
e

M´todo de Newton – Raphson
e
Tal vez, dentro de las f´rmulas para localizar ra´
o
ıces, la f´rmula de
o
Newton–Raphson sea la m´s ampliamente usada. Si el valor inicial de la
a
ra´ es xi entonces se puede extender una tangente desde el punto
ız
(x, f (x)). El punto donde esta tangente cruza al eje x representa una
aproximaci´n mejoradade la ra´
o
ız.

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M´todo de Newton – Raphson
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M´todo de la Secante
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Sistemas de ecuaciones no lineales

Desventajas del m´todo de Newton–Raphson
e

De la figura anterior se tiene que la derivada en xi es igual a la pendiente
f (xi ) =

f (xi ) − 0
,
xi − xi+1

que se reordena para obtener
xi+1 = xi −f (xi )
f (xi )

la cual se conoce como f´rmula de Newton-Raphson.
o

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e
M´todo de Newton – Raphson
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M´todo de la Secante
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Sistemas de ecuaciones no lineales

Desventajas del m´todo de Newton–Raphson
e

Desventajas del m´todo de Newton–Raphson
e

No hay un criterio general de convergencia deNewton-Raphson, su con–
vergencia depende de la naturaleza de la funci´n y de la aproximaci´n del
o
o
valor inicial
inicial.
La unica soluci´n en estos casos es tener un valor inicial que sea
´
o
“suficientemente” cercano a la ra´
ız.
¡para algunas funciones ning´n valor inicial funcionar´!
u
a
Los buenos valores iniciales, es com´n predecirlos con el conocimiento
u
f´
ısico del problema omediante el uso de herramientas tales como las
gr´ficas que proporcionan mayor claridad en el comportamiento de la
a
soluci´n.
o

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M´todo de Newton – Raphson
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Desventajas del m´todo de Newton–Raphson
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Desventajas del m´todo de Newton–Raphson
e
Lasegunda derivada cambia de signo en un entorno de la ra´
ız

Las iteraciones divergen progresivamente.
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Desventajas del m´todo de Newton–Raphson
e

Desventajas del m´todo de Newton–Raphson
e
Existe un m´
ınimo (m´ximo)local
a

Las iteraciones oscilan alrededor del m´
ınimo (m´ximo).
a
Existir´ un grave problema si se obtiene un xk tal que f (xk ) = 0.
a
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Criterio de selecci´n del valor x0
o...