metodos numericos

Cálculo Numérico

Agosto de 2011

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Resolución de Ecuaciones No Lineales

Un problema fundamental de las matemáticas aplicadas es determinar valores
tales que f ( ) = 0. Estos valores se denominan raíces de la ecuación
f (x) = 0
En general no es posible ”
resolver”una ecuación como esta y por lo tanto encontrar los valores exactos no es alcanzable en todos los casos, por esto se handesarrollado métodos que permiten determinar aproximaciones numéricas su…cientemente cercanas a las raíces buscadas. El siguiente ejemplo ilustra el
tipo de problemas que queremos estudiar:
Problema: En los estudios sobre recolección de energía solar al enfocar
un campo de espejos planos en un colector solar central, un investigador
obtuvo la siguiente ecuación para el factor de concentracióngeométrica C:
C=

(h= cos A)2 F
;
0:5D2 (1 + sin A 0:5 cos A)

donde A es el ángulo de anillo del campo, F es la cobertura fraccionaria del
campo con los espejos, D es el diámetro del colector y h es la altura del
mismo. Encuentre A, si h = 300, C = 1200, F = 0:8 y D = 14.
Para resolver este tipo de problemas consideraremos 3 métodos que ilustran el tipo de argumentos y herramientasusadas en cálculo numérico.

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1.1

Método de la Bisección

Está basado en el Teorema del Valor Intermedio que dice: Si f (x) una
función real tal que f (a) y f (b) tienen signos distintos y además es continua
en un intervalo que incluye a [a; b], entonces existe 2 [a; b] tal que f ( ) = 0.
De este modo debemos determinar dos puntos a y b donde la función
f cambie de signo, esto esposible mediante el uso de la función plot de
Maple, de modo que supongamos que ya tenemos estos valores. El método
consiste en considerar el punto medio c entre ambos extremos y determinar
donde se produce el cambio de signo, en [a; c] o en [c; b], según corresponda
se descarta uno de los dos intervalos y se continúa con el restante, al que se
aplica el mismo procedimiento. De este modo en cadaiteración del proceso
la amplitud del intervalo se reduce a la mitad y la raiz buscada quedará
encerrada en el intervalo restante. El intervalo inicial tiene amplitud b a,
de este modo, después de n iteraciones, obtendremos un intervalo de amplitud
(b a)=2n 1 .
Este método permite obtener una sucesión xi donde cada xi es el punto
medio obtenido en cada iteración. Dado que la amplitud delintervalo tiende
a 0, tenemos que la sucesión es convergente y su límite es una de las raíces
buscadas.
En el documento adjunto se incluye un programa en Maple que permite
aplicar este método.
Ejercicios:
1. Encuentre la menor raiz positiva de la función trascendente
f (x) = 3x + sin x

ex

¿Cuántas raíces existen?
2. La función f (x) = x cos(x=(x 2)) tiene muchos ceros, especialmentecerca de x = 2, donde está inde…nida. Trace la grá…ca de la función.
Determine las cuatro primeras raíces positivas aplicando el método de
la bisección, obtengas estas raíces con hasta 6 dígitos signi…cativos
exactos.

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3. Encuentre, mediante el método de la bisección, las coordenadas de los
puntos dende se cortan las grá…cas de y = x2 2 e y = ex con hasta
6 cifras decimales exactas.¿Cuántas iteraciones se requieren?

1.2

Metodo de Newton - Raphson

Este método es uno de los más utilizados y está basado en aproximaciones
lineales de f . Para deducir el método recurriremos a la serie de Taylor de la
función, la que supondremos tiene todas sus derivadas en una vecindad que
incluya a la raiz buscada. Sea x0 una paroximación inicial, desarrollemos la
serie de Taylor de falrededor de x0 , entonces
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x

x0 ) +

+

1 (n)
f (x0 )(x
n!

x0 )n +

Considerando x cercano a x0 tenemos que las potencias de x x0 deben ser
muy pequeñas lo que permite truncar la serie a partir de la segunda derivada,
de este modo obtenemos:
f (x) t f (x0 ) + f 0 (x0 )(x

x0 )

con un error dado por la segunda derivada de f . Más aún como la raiz...