metodos numericos

UNIDAD IV

Diferenciación e Integración Numérica

Diferenciación Numérica
Aprox. de diferencias divididas finitas para la 1ra derivada.
Aprox. de diferencias divididas finitas para la 2da derivada.
Método de la derivada por la regla de los cuatro pasos.

Se usaran los desarrollos en series de Taylor para obtener una aproximación por diferencias divididas finitas

f(x) = f(x0) + f‘(x0) (x-x0) + f ‘’(x0) (x-x0)2 + ........
2! .

Aproximación de diferencias divididas finitas hacia adelante.

f(xi+1) = f(xi)+f ’(xi)(xi+1-xi) + R1

f ’(xi) = f(xi+1) –f(xi) – R1 = f(xi+1) – f(xi) – R1
x i +1 – x i xi+1 – x i xi+1 – x iAprox. de error de
1er. orden truncamiento

Por la misma vía de la serie de Taylor se ha obtenido un estimado del error por truncamiento asociado con esta aproximación de la derivada.

R1 = f ’’() (x1-x0)2 = O (x i +1 - xi)(n+1)!

es decir f ’(xi) = f(x i +1) – f (xi) _ O( x i +1 – x i )
x i +1 – x i

donde:
fi es referido como la 1ra diferencia hacia adelante. f(x i +1) – f (xi)
h es denominado longitud de paso sobre la cual se hace la aproximación. (x i +1 – x i).
Se denomina diferencia hacia adelante o progresiva porque usa datos en i, el terminofi se le llama 1ra diferencia dividida finita.

Aproximación de Diferencias Divididas Finitas hacia atrás de la 1ra Derivada

f(xi-1) = f(xi) + f’(xi)(xi-1-x1) + f” (xi)(xi-1 - xi) 2 + ......
-h 2!

f (xi-1) = f(xi) + f’(xi) + f” (xi) h2 _ h3 f”(xi) + .........-h 2! 3!



Despejando y agrupando para f ’ (xi) tenemos:

f’ (xi) = f(xi-1) - f(xi) - R2

-h

donde el error es

O(h) es decir f’(xi) = f(xi)- f(xi-1) - R2
hAproximación de Diferencias Divididas Finitas Centrada de la 1ra Derivada.

Restemos (*) del sig. Desarrollo hacia adelante.

f(xi+1) = f(xi) + f’(xi) h + f”(xi) h2 + .....
_ 2!
f(xi-1)= f(xi) - f’(xi) h + f” (xi) h2
2!

f(xi+1) - f(xi-1) = 2 f’(xi)h+ (f”(xi)h3)/ 3!

Despejando la 1ra derivada tenemos
f’(xi) = f(xi+1) - f(xi-1) - f”(xi) h2 + .......
2h 6

f’(xi) = f(xi+1) - f (xi-1) - O(h2)
2h


Ejercicio (4) sea f(x)=ln(x) y x0 = 1.8 utilice las 3 aprox. vistas para estimar la 1ra derivada como una longitud de a)h =0.1 b)h = 0.01

Calcule exactamente la derivada y del error en cada caso.

f(xi+1) = f(xi+h) = ln(1.9)
f(xi-1) = f(xi-h) = ln(1.7)
f’(1.8)  ln (1.9) ₋ ln (1.7) = 0.6418539 - 0.5306283
2(0.1) 0.2

f’(1.8) = 0.11122257 = 0.5561282 aproximación por DDF centrada0.2
Para la función f(x) =ln x la derivada en forma analítica es:

f ’(x) = 1/ x = 1/1.8 = 0.55555556 exacto



TAREA
ESCRIBIR UN PROGRAMA PARA CALCULAR LA APROX. POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS PARA DATOS DISCRETOS (PUNTOS). Igualmente espaciados, para diferencia centradas en los puntos intermedios, para la 1ra diferencia progresiva O(h) Ultima...