Metodos Numericos

Instituto Tecnológico de Mexicali
Ing. Sistemas computacionales
Calculo Integral
Tema:
Series
Alumno:
González Guzmán Ricardo Manuel
No. De Control
11490205
Profesor
Amado Moreno María Guadalupe

Mexicali, B.C., 14 De Noviembre de 2011.
Objetivo de la Unidad

Introducción

Definición de Serie
Está íntimamenterelacionado con el concepto de secesión. { an } es la sucesión a1, a2, a3 …...., an ……, entonces es la suma indicada

a1+a2+a3+ ………an+………..
Series Infinitas
Se le llama serie infinita a los elementos ak k= 1, 2, 3, …. se llaman los términos de la serie ak se denomina termino general ejemplo.

k=1∞ak , o bien ak
Ejemplo :
En las observaciones iniciales de este capítulo se indico que larepresentación decimal del número 13 es, en realidad, una serie infinita

310+3102+3103+⋯= k=1∞310k

Series Finitas
Suma de términos de una secesión se representa con términos, donde n es el índice final de la serie.
Ejemplo
xi=0 para todo i>n y yi=0 para todo i>m
i=0∞xi y i=0∞yi se verifica es xo+⋯+xnyo+⋯+ym

Series de potencias
A una serie que contenga potencias de exponente enterono negativo de una variable x

c0+c1+c2x2+ ⋯+cnxn + ⋯=
k=0∞ckxk

En donde los ck son constantes que dependen de la k, se la llama serie de potencias en x.

c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + ⋯ +
cn(x-a)n+⋯ k=0∞ck (x-a)k

a la cual se le llama serie a de potencia en x-a.

Ejemplo:
La serie de potencias
1+x+ x2+ ⋯+ xn ⋯= k=0∞xk

Se reconoce como una serie geométrica conr=x. por lo tanto, la serie converge para los valores de x que satisfacen x<1, o bien-1<x<1.

Radio de Convergencia
Al conjunto de todos los números reales x para los cuales converge una serie de potencias, se le llama si intervalo de convergencia. Considerando el caso general, unas serie de potencias en x-a puede converger.

(i).-En un intervalo finito centradoa:a-r,a+r,a-r,a+r,a-r,a+r o a-r,a+r; o bien
(ii).-En un intervalo infinito -∞,∞; o
(iii).-Solo en el punto x=a.
Ejemplo:
Hallar el intervalo de convergencia
k=0∞xk2k(k+1)2

Solución:
limn→∞anan= limn→∞|xn+12n+1n+22∙2nn+12xn|
=limn→∞n+1nn+22 |x|2=|x|2

Existe una convergencia absoluta siempre que este límite sea estrictamente menor que la unidad. Así que la serie es absolutamente convergente paraaquellos valores de x que satisfacen |x|2<1 o |x| < 2; esto es, convergente para cualquier número x del intervalo (-2,2).

Serie de Taylor
Cuando una serie de potencias representa una función f en un intervalo a-r,a+r, r>0
fx=c0+ c1x-a + c2x-a2 + c3(x-a)3+ ⋯+ cn(x-a)n+ ⋯ =
k=0∞ck(x-a)k
Existe una relación entre los coeficientes ck, y las derivadas de f. Por el Teorema puede escribirsef'x=c1+2c2x-a+ 3c3(x-a)2+ ⋯
f''x=2c2+ 3∙2c3x-a+ ⋯
f'''x=3∙2∙1c3 + ⋯
Y así sucesivamente.
En general, fna= n!cn,0
cn=fn (a) n!, n≥0.
Cuando n=0 se interpreta la derivada “de orden cero” como fay 0!=1.

fx= k=0∞fkk!x-ak

Que es válida para todos los valores de x en a-r,a+r,r>0. Esta serie de Taylor de f en a. El caso especial a=0 de una función de Taylorfx= k=0∞f(k)k!xk

Ejemplo
Obtenga la serie de Taylor de fx=lnx en a=1

Solución:
Se tiene que

fx=lnx, f1=0
f'x= 1x, f'1=1
f''x=-1x2, f''1=-1
f'''x=1∙2x3 f'''1=2!
⋮

fnx=(-1)n-1n-1!xn, fn1=(-1)n-1 n-1!.Da lugar así a
x-1-12(x-1)2+13(x-1)3- ⋯ = k=1∞(-1)k-1k(x-1)k

Prueba de la razón

Seauna serie infinita para la cual cada un es diferente de cero:
1.-Si limn→+∞|un+1un|=L<1, entonces la serie es absolutamente convergente.
2.-Si limn→+∞|un+1un|=L>1 o si limn→+∞|un+1un|= +∞ la serie es divergente.
3.-Si limn→+∞|un+1un|=1, no se puede concluir nada acerca de la convergencia a...