Metodos Numericos

Sistema de Ecuaciones Lineales por el método de Gauss Jordan (Metodo Directo)
El método de Gauss- Jordan es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, consiste en que a partir de la matriz aumentada del sistema de ecuaciones (matriz de coeficientes y de términos independientes), se halla otra matriz equivalente a la matriz aumentada mediante operaciones elementales defila y/o columna, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. La nueva matriz hallada puede ser una matriz de identidad o una matriz escalonada reducida por filas.
La matriz de coeficientes no debe ser necesariamente una matriz cuadrada, puede ser de cualquier tipo.
Con este procedimiento logramos las soluciones decada incógnita sin emplear la sustitución hacia atrás para obtener la solución de las mismas. En el método de Gauss, a partir de la ultima ecuación, se sustituye una solución, realizando este proceso con todas las ecuaciones, y se encuentra las soluciones. El método de Gauss-Jordan permite encontrar las soluciones directamente.
Ejemplo:
Sea el sistema de ecuaciones:
2x+3y+z=1
3x-2y-4z=-35x-y-z=4
Su matriz aumentada correspondiente es:
(■(2&3&1@3&-2&-4@5&-1&-1)│■(1@-3@4))
Y las soluciones que obtendremos al aplicar el método son:
(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)│■(1@-1@2))

El Algoritmo de Gauss-Jordan consta de los siguientes pasos:
Determine la primer columna (a la izquierda) no cero.
Si el primer elemento de la columna es cero, intercambielo por un renglon que no tenga cero.Multiplicando apropiadamente el renglon, hagalo 1. Este primer 1 sera llamado 1 pivote.
Obtenga ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando multiplos adecuados a los renglones debajo de renglón pivote en la matriz completa.
Cubra la columna y el renglon de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1 con la columna siguiente.

Es importante observar que en el método de Gauss-Jordan:
En laidea general, la matriz se va escalonando y reduciendo a la vez.
En el paso 2, si el elemento no es cero no se realiza intercambio.
En el paso 3, los elementos que se hacen cero no solo son los inferiores al pivote (Eliminación Gaussiana) sino también los superiores.

Sistema de ecuaciones lineales (Metodo Iterativo)

METODO DE JACOBI:
Consideremos el sistema:
├ █(■(a_11 x_1+a_12 x_2+⋯a_1nx_n=b_1@a_21 x_1+a_22 x_2+⋯a_2n x_n=b_2@⋮)@a_m1 x_1+a_m2 x_2+⋯a_mn x_n=b_m )}(1)
Este sistema se puede rescribir de la forma:
(2){█(■(x_1=1/a_11 (b_1-a_12 x_2-a_13 x_3-…-a_1n x_n )@x_2=1/a_22 (b_2-a_21 x_1-a_23 x_3-…-a_2n x_n )@⋮)@x_n=1/a_nn (b_n-a_n1 x_1-a_n2 x_2-…-a_(n,n-1) x_(n-1) ) )┤
Para esto se debe tener a_11≠0 i=1,2,…,n
(2) x_i=1/a_ii (b_i ∑_█(j=1@j≠i)^n▒〖a_ij x_j 〗)i=1,2,…,n

El método de Jacobi consiste en hallar los valores de las incógnitas por sustituciones sucesivas a partir de un valor inicial 〖 x〗^0=(x_1^0,x_2^0,…,x_n^0 )
Si hacemos x^0=0 □(⇒┴ ) 〖x_1〗^0, 〖x_2〗^0, … 〖〖,x〗_n〗^0=0 ⇒┴ tenemos
x_1^((1) )=b_1/a_11 , x_2^((1) )=b_2/a_22 ,…〖 ,x〗_n^((1) )=b_n/a_nn , 〖 x〗^1=(x_1^1,x_2^1,…,x_n^1 )
Seria laprimera aproximación.

Así sucesivamente.
Entonces (k+1) aproximación seria de la forma siguiente
(4) x_i^((k+1) )=1/a_ii (b_i ∑_█(j=1@j≠i)^n▒〖a_ij x_j^((k) ) 〗) i=1,2,…,n
Este proceso de Jacobi se puede escribir en la forma matricial de la siguiente manera.
Observando la expresión (2) (pasando a multiplicar los denominadores respectivos).
(■(■(■(a_11@0 )&■(■(0& …& 0)@■(a_22&…&0)))@■(■(⋮@0)&■(■( ⋮& ⋱& ⋮)@■( 0&…&〖 a〗_nn )))))(■(x_1@■(x_2@⋮)@x_n ))=(■(b_1@■(b_2@⋮)@b_n ))-(■(■(0&a_21@a_21&0)&■(⋯&a_1n@⋯&a_2n )@■(⋮& @a_n1& )&■(⋱&⋮@⋯&0)))(■(x_1@■(x_2@⋮)@x_n ))

(■(b_1@■(b_2@⋮)@b_n ))-{(■(■(0&a_21@a_21&0)& ■(⋯& 0@⋯& 0)@■(⋮& @a_n1&⋯ )&■(⋱&⋮@a_(n,n-1)&0)))+(■(■( 0&a_12@ 0&0)&■(⋯&a_1n@⋯&a_2n )@■(⋮& @0& )&■(⋱&⋮@⋯&0)))}(■(x_1@■(x_2@⋮)@x_n ))...