Metrica

Curso de Geometría Métrica
Matemática “B” de 5º año (2º de bachillerato diversificado), orientación científica

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Colegio Juan Zorrilla de San Martín (HH. Maristas) Profesores: Jorge Restuccia, Pablo Ferrari

Abril de 2003

Curso de Geometría Métrica
Introducción
La Geometría es una de las ramas más antiguas e importantes de la Matemática. El intento de Euclidesde establecer un desarrollo riguroso, bajo los principios de la lógica formal de la época, sentó las bases de la Geometría elemental y su enseñanza se desenvolvió, durante siglos, de acuerdo a los principios establecidos por el geómetra griego, aunque con aportes importantes de muchos otros matemáticos. Hoy en día hay diversas vertientes de esa enseñanza. El curso de Matemática “B” de 5º año (2º debachillerato diversificado, orientación científica), enfoca los temas de la Geometría euclideana. Como todo curso tiene dos aspectos fundamentales: el informativo y el formativo. Respecto al primero, el volumen de información “nueva” que el estudiante recibe es, relativamente, escaso. Se trata de analizar los conceptos ya adquiridos en la escuela y años anteriores del liceo, desde un punto devista superior, agregándose algunos temas. En nuestra opinión, lo más importante del curso es su aspecto formativo. El modelo axiomático-deductivo de la Geometría, aplicado a conceptos asumidos hace tiempo por el estudiante, permite que se desarrolle su capacidad crítica, que se discipline en el uso de las estructuras del razonamiento, que adquiera interés en el análisis y la resolución de problemasy pierda el “miedo” a enfrentarlos, entre otras cosas. El presente trabajo pretende ser una ayuda para este curso. No se trata de sustituir los textos, sino de complementarlos. Se ha realizado sobre la base de las clases dictadas durante los últimos años, por lo cual el orden de los temas y el enfoque de los mismos se adapta más que aquellos al desarrollo del curso. Si bien se trata de exponer laGeometría elemental con la mayor rigurosidad posible, somos conscientes que algunos temas presentan dificultades teóricas que exceden ampliamente el nivel del curso. Así es que, en algunos casos, hemos optado por admitir las conclusiones, sin desarrollar las teorías que las respaldan. Por lo tanto estos apuntes no pretenden ser un tratado de Geometría, ni mucho menos, sino, como se dijo antes, unaayuda para el estudio del curso teórico. Prof. Pablo Ferrari Prof. Jorge Restuccia

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Capítulo 1
En este capítulo encontraremos: Primeros axiomas: axioma de existencia, axioma de determinación de la recta, axioma de orden en la recta, axioma de división del plano, axioma de paralelismo (o axioma de Euclides). Primeras definiciones: figura, relación de alineación, rectassecantes, relaciones de orden en la recta, semirrecta, segmento de recta, figura convexa, semiplano, ángulos, triángulo, polígonos, rectas paralelas. Teoremas relacionados.

1. Axioma I (Existencia):
Existe un conjunto –llamado plano–, de infinitos elementos llamados puntos. Existen infinitos subconjuntos del plano –llamados rectas–, de infinitos puntos cada uno. 2. Notación: Al plano lo llamaremosπ. A los puntos los notaremos con letras mayúsculas y a las rectas con letras minúsculas. 3. Definición (figura): Se llama figura a todo subconjunto no vacío del plano. 4. Nota: Llamaremos lugar geométrico de una propiedad determinada a la figura formada por todos los puntos que cumplen dicha propiedad.

5. Axioma II (Determinación de la recta):
Para todo par de puntos distintos, existe unaúnica recta a la cual pertenecen. 6. Notación: A la recta determinada por los puntos A y B la notaremos AB. 7. Definición (relación de alineación): Dados tres o más puntos, diremos que están alineados si y sólo si existe una recta a la cual pertenecen.

8. Teorema:
La intersección de dos rectas distintas contiene a lo sumo un punto. H) T) a≠b a∩b = φ o ∃! P tal que P ∈ a∩b a Q

P b Si a∩b = φ...