Mettodo De Jacobi

CURSO
INGENIERIA SISMO
RESISTENTE I
Métodos para calculo de modos de vibración.Métodos de iteración matricial.- Método de
Jacobi


Métodos de calculo de Modos de
Vibración
METODOS DE CALCULO DE MODOS DE VIBRACION

Metodos de Iteración Matricial :
Metodo de Jacobi
Conocido tambien como metodo de diagonalizacion por rotaciones sucesivas, este
procedimiento permite determinar,simultaneamente, todas las frecuencias y
modos de sistemas complejos de hasta 200 grados de libertad.
Consiste esencialmente, en diagonalizar la matriz dinamica o su inversa con el
objeto de obtener, en la ecuacion matricial caracteristica, una serie de
expresiones independientes, faciles de resolver.

Ingeniería Sismo Resistente I

Ing. Omart Tello Malpartida

Método de Jacobi
Datos:

⎛ 5−2.5 0 ⎟
⎞
⎜
K := 80 ⋅⎜ −2.5 3.5 −1 ⎟
⎜ 0 −1 1 ⎟
⎝
⎠

0
0⎞
⎛ 0.4077
⎜
⎟
M := 1⎜ 0
0.4077
0⎟
⎜0
⎟
0
0.2039 ⎠
⎝

Calculo de Matriz Diagonal Inferior [ L], tal que M=L.
L

⎛ M1 , 1
⎜
L := ⎜ 0
⎜
⎝0

0
M2 , 2
0

⎞
⎟
0⎟
⎟
M3 , 3 ⎠
0

0⎞
⎛ 0.639 0
⎜
⎟
L =⎜ 0
0.639
0⎟
⎜0
⎟
0
0.452 ⎠
⎝
T

Ingeniería Sismo Resistente I

0⎞
⎛ 0.639 0
⎜
⎟
L=⎜ 00.639
0⎟
⎜0
⎟
0
0.452 ⎠
⎝

−1

L

0⎞
⎛ 1.566 0
⎜
⎟
1.566
0⎟
=⎜ 0
⎜0
⎟
0
2.215 ⎠
⎝
Ing. Omart Tello Malpartida

Método de Jacobi
Calculo de Matriz Dinamica [ G*]
−1

G := L

()
−1

⋅K ⋅ L

T

0
⎞
⎛ 981.114 −490.557
⎜
⎟
G = ⎜ −490.557 686.779 −277.467 ⎟
⎜
⎟
0
−277.467 392.349 ⎠
⎝

Ingeniería Sismo Resistente I

Ing. Omart Tello Malpartida

Métodode Jacobi ( 1ra Rotación)
Ciclos de rotación:
Primera Rotación
Los ciclos de rotación se inician eliminando , por ejemplo el termino g1,2 (r=1, s=2) ; así tenemos:
Tag 2θ = 2 g(r,s) /[g

(r,r) -

g

(s,s)]

θ =0.5 arctag( 2 g(r,s) /[g (r,r) - g (s,s)])

G 1 , 2 = − 490.557
G 1 , 1 = 981.114
G 2 , 2 = 686.779

⎞
⎛ 2 ⋅G 1 , 2
⎟
⎝ G1 , 1 − G2 , 2 ⎠

θ 1 := 0.5 ⋅ atan ⎜
θ 1 = −0.64
s := sin ( θ 1 )

s = − 0.597

c := cos ( θ 1 )

c = 0.802

Ingeniería Sismo Resistente I

⎡c − s 0⎤
⎢ s c 0⎥
⎥
⎢
⎢0 0 1 ⎥
⎦
⎣
Ing. Omart Tello Malpartida

Método de Jacobi ( 1ra Rotación)
⎛ c −s 0 ⎞
⎜
⎟
R1 := ⎜ s c 0 ⎟
⎜0 0 1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 0.802 0.597 0 ⎞
⎜
⎟
R1 = ⎜ −0.597 0.802 0 ⎟
⎜0
⎟
0
1⎠
⎝
Luego el triple producto escalar resulta ser : G1=R1.G.R1

TG1 := R1 ⋅G⋅R1

Ingeniería Sismo Resistente I

165.628 ⎞
0
⎛ 1346.103
⎜
⎟
321.79 −222.61 ⎟
G1 = ⎜ −0
⎜ 165.628 −222.61 392.349 ⎟
⎝
⎠

Ing. Omart Tello Malpartida

Método de Jacobi( 2da Rotación)
En forma similar para el termino g1,3 (r=1, s=3) ; se obtiene:
G1 1 , 3 = 165.628
G1 1 , 1 = 1.346 × 10

3

G1 3 , 3 = 392.349
2 ⋅ G1 1 , 3
⎞
⎛
⎟
⎝ G1 1 , 1 − G1 3 , 3 ⎠

θ2 := 0.5 ⋅ atan ⎜
θ 2 = 0.167

⎛ cos ( θ 2 ) 0 − sin ( θ 2 )
⎜
R2 := ⎜
1
0
0
⎜ sin ( θ 2 ) 0 cos ( θ 2 )
⎝
⎛ 0.986
⎜
R2 = ⎜
0
⎜ 0.166
⎝

0

− 0.166

1

0

0

0.986

⎞
⎟
⎟
⎟
⎠

⎞
⎟
⎟
⎟
⎠

Luego el triple producto escalar resulta ser : G2 =R2.G1.R2
T

G2 := R2 ⋅G1 ⋅R2

⎛ 1374.047
⎜
G2 = ⎜ − 37.034
⎜ −0
⎝

Ingeniería Sismo Resistente I

⎞
⎟
−219.507 ⎟
321.79
− 219.507 364.405 ⎟
⎠
− 37.034

0

Ing. Omart Tello Malpartida

Método de Jacobi( 3ra Rotación)
En forma similar para el termino g3,2 (r=3, s=2) ; se obtiene:
G2 3 , 2 = − 219.507
G2 3 , 3 = 364.405
G2 2 , 2 = 321.79
2 ⋅ G2 3 , 2
⎞
⎛
⎟
G2 3 , 3 − G2 2 , 2 ⎠
⎝

θ 3 := 0.5 ⋅ atan ⎜
θ 3 = − 0.737

0
0
⎛1
⎜
R3 := ⎜ 0 cos ( θ 3 ) sin ( θ 3 )
⎜ 0 − sin ( θ3 ) cos ( θ 3 )
⎝
0
0
⎛1
⎜
R3 = ⎜ 0 0.74 − 0.672
⎜ 0 0.672 0.74
⎝

⎞
⎟
⎟
⎟
⎠

⎞
⎟
⎟
⎟
⎠

Luego el triple producto escalar resulta ser : G3 =R3.G2.R3
T

G3 := R3 ⋅G2⋅R3

⎞
⎛ 1374.047 −27.423 24.89 ⎟
⎜
G3 = ⎜ −27.423 122.558
−0 ⎟
⎜ 24.89
⎟
0
563.637 ⎠
⎝

Ingeniería Sismo Resistente I

Ing. Omart Tello Malpartida

Método de Jacobi( 4ta Rotación)...