mezclas ecuaciones diferenciales

1

Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Pedagog´ en Matem´ticas y computaci´n
ıa
a
o

Mezclas
Ecuaciones Diferenciales

Daniela Carvallo Espinoza
Yuvikza Uribe Carrasco
06 Agosto de 2013

2
Mezclas
En las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales vamos a trabajar con ´ste modelo para
e
solucionar problemas de mezclas (salmueras y otros). En donde vamos a utilizar lossiguientes
datos:
V: volumen(unidad de volumen).
Q: Soluto (unidades de masa).
V0 : Cantidad de volumen inicial.
Q0 : Cantidad de soluto inicial.
V(t): Volumen en cualquier instante t.
Q(t): Soluto en cualquier instante t.
Ce : Concentrci´n de entrada.
o
Cs . Concentraci´n de salida.
o
C(t): Concentraci´n en cualquier instante t (Raz´n entre la cantidad de soluto sobre el
o
ovolumen).
Nota: Las unidades de medida de la concentraaci´n pueden ser (grs/Lt., Lb/gal., Kg/Lt.).
o
Re : Flujo de entrada.
Rs : Flujo de salida.
Nota: Las unidades de medidas de los flujos pueden ser (Lt/min., gal/hrs., Lt/hr.)
t: tiempo
En relaci´n al flujo de entrada y de salida podemos encontrar los siguientes casos.
o
1. Si Re = Rs
V0 se mantiene constante al paso del tiempo.
Entonces:
V(t) = V0
2. Si Re > Rs
El volumen va a aumentar al paso del tiempo (Es creciente).
3. Si Re < Rs
El volumen va a disminuir al paso del tiempo (Es decrecimiento).

3
Para resolver este problema procederemos como sigue.
Consideremos primero la rapidez con que cambia la cantidad de soluto Q(t) en el tanque,
la cual est´ dada por la rapidez con que entra el soluto menos la rapidez con quesale. Esto es:
a
d
Q(t)
dt

= (Rapidez con que entra el soluto)-(Rapidez con que sale el soluto)

Si tomamos en cuenta que:
La rapidez con que entra el soluto es Re Ce
La rapidez con que sale el soluto es Rs Cs = Rs C(t)
El modelo de este proceso queda como el PVI
d
Q(t)
dt

= Re Ce − Rs C(t)

con Q(0) = Q0

El m´todo de soluci´n de este PVI depender´ de las condiciones delproblema.
e
o
a
Con la siguiente f´rmula podemos determinar V(t), donde V(t) puede ser igual a V0 o V(t)
o
dependera del instante t.
V (t) = (Re − Rs )t + V (t)
Observaciones:
1. En general la cantidad Q(t) de soluto en el tanque ser´ en funci´n del tiempo t y vaa
o
riar´ en los casos anteriores.
a
2. Lo mismo para la concentraci´n.
o
C(t) =

Q(t)
V (t)

o
´

C(t) =

Q(t)
V0Generalmente tenemos que determinar la cantidad Q(t) de soluto en el tanque en cualquier
instante t ≥ 0

4
Ejercicios.
1. En un tanque que contiene 1000Lt. de agua, inicialmente se disuelven 5Kg. de sal. Luego
se bombea salmuera al tanque a raz´n de 20Lt/min. y la soluci´n uniformemente mezclada
o
o
se bombea hacia afuera del tanque a la misma raz´n. Considerando que la concentraci´n
oo
de la soluci´n que entra es de 0.01Kg/Lt., determinar:
o
a) La cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante t ≥ 0.
b) La cantidad de sal en el tanque despu´s de 30 minutos.
e
c) La cantidad de sal en el tanque despu´s de mucho tiempo.
e
d ) El tiempo que debe transcurrir para que haya 8Kg. de sal en el tanque.
Soluci´n
o
Datos:
Q(0) = 5Kg.
V (0) = 1000Lt.
Re =20Lt/min.
Rs = 20Lt/min.
Ce = 0,01Kg/Lt.
Cs = C(t)
La rapidez de cambio de la cantidad de Q(t) de sal en el tanque en el instante t es:
d
Q(t) = Re Ce − Rs C(t)
dt

¿Con qu´ rapidez entra la sal al tanque?
e

Re Ce = (20Lt/min.)(0,01Kg/Lt.)
Re Ce = 0,2Kg/min.

5
¿Con qu´ rapidez sale la sal del tanque?
e
Como no sabemos el valor de Cs , entonces tenemos que determinar a C(t):
C(t) =Q(t)
V (t)

donde:
V (t) = (Re − Rs )t + V0
V (t) = (20Lt/min. − 20Lt/min.)t + 1000Lt
V (t) = 1000Litros.
As´
ı:
C(t) =

Q(t)
1000Lt.

Entonces la rapidez con que sale la sal del tanque es:

Rs C(t) = (20Lt/min.)
Rs C(t) = [

Q(t)
1000Lt.

Q(t)
Kg/min.]
50

Por lo tanto la rapidez de cambio de la cantidad Q(t) de sal en el tanque, despu´s de t
e
minutos es:
d...