Mias

I

MÓDULO 7 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Introducción. La transformada de Laplace es una herramienta matemática que se utiliza en el análisis y diseño de sistemas lineales continuos y determinísticos. Los modelos de este tipo de sistemas son ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. La transformada de Laplace permite resolver estos modelos de una manera más sencilla y es muyútil para analizar y diseñar estos sistemas en diversas áreas de ingeniería. Esta herramienta convierte funciones definidas en el dominio del tiempo a funciones definidas en el dominio de Laplace, que es el plano complejo s. Cuando se aplica la transformada de Laplace a una ecuación diferencial en el dominio del tiempo, se obtiene una ecuación algebraica en el dominio de Laplace. Esta ecuaciónalgebraica es más fácil de resolver que la ecuación diferencial de donde proviene. Una vez que se ha resuelto la ecuación algebraica, se puede obtener la solución de la ecuación diferencial original utilizando la transformada inversa de Laplace. La transformada de Laplace está definida para funciones definidas en el dominio del tiempo que cumplen con las siguientes características: • • • • • La funciónx(t) vale cero para valores negativos de t. La función x(t) tiene un valor único para todo t. La función x(t) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo de tiempo finito. La función x(t) tiene un número finito de máximos y mínimos en cualquier intervalo de tiempo finito. La función x(t) está acotada por una función exponencial, x(t ) < ect para todo t.

€ Definición de latransformada de Laplace y su inversa

Sea f(t) una función que cumple con las características mencionadas anteriormente. La transformada de Laplace de la función f(t) está definida por la siguiente integral:

X ( s ) = L {x(t )} =

∞

∫ x(t ) e
0

−st

dt

donde s es una variable compleja definida por s = σ + jω .

€

1 Dr. Jorge A. Olvera R.

Instituto Tecnológico y deEstudios Superiores de Monterrey Departamento de Ingeniería Eléctrica y Computacional TE-2004 ANÁLISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS

La definición de la transformada inversa de Laplace es la siguiente integral de variable compleja:
x(t ) = L-1 {X ( s )} = 1 j 2π
c + j∞

c− j∞

∫ X(s) e

st

ds

€

donde c es la abscisa de convergencia. La trayectoria de integración es la línea vertical sobrela abscisa de convergencia y es una integral sobre una trayectoria abierta. Para clarificar los conceptos anteriores se obtendrá la transformada de la función x(t ) = e−atu(t ) .

X ( s ) = L {x(t )} =

∞

∞ −at

∫e
0

u(t) e

−st

dt =

∫e
0

−( s +a )t

1 dt = − e−( s +a )t s+a

∞

€
0

Antes de evaluar los límites es necesario considerar lo siguiente:

€

e− (s+a )t = e−( σ + jω +a )t = e −( σ +a )t e− jωt

= cos( ωt ) − jsen( ωt ) El término e independientemente del valor de t.
e − jωt = cos 2 ( ωt ) + sen2 ( ωt ) = 1

− j ωt

siempre

tiene

una

magnitud

igual

a

1,

Sin embargo, la magnitud del otro término. e− (σ +a )t , cuando t tiende a infinito, depende del valor de σ. Si σ + a < 0 , la magnitud de este término tenderá ainfinito cuando t tienda a infinito y el valor de la integral tenderá a infinito. Si σ + a > 0 , la magnitud de este término tenderá a cero cuando t tienda a infinito y la integral tendrá un valor finito. Finalmente, cuando σ + a = 0 , la magnitud de este término no crecerá hasta infinito cuando t tienda a infinito pero el valor de e− jωt estará indefinido ya que su magnitud será siempre 1, pero sufase estará indefinida. Del análisis realizado se puede concluir que, para que la integral tenga un valor finito y definido, es necesario que σ + a > 0 . Esto implica que σ debe ser mayor que –a. El mínimo valor que puede tener σ para que la integral exista se conoce como la abscisa de convergencia c. Este valor es el mismo que el que se muestra en la función exponencial que acota la señal...