MICROECONOMIA

PRÁCTICA 4
1.- Determine la expresión de la demanda del bien x1 para la siguiente función de
ࢼ

utilidad: ࢁ ൌ ࡭ · ࢞ࢻ · ࢞૛
૚

Para calcular la del bien x1 hay que resolver el problema de maximización de la utilidad
condicionada a la renta disponible que dispone un consumidor:
ఉ

ఈ
max ܷ ൌ ‫ݔ · ܣ‬ଵ · ‫ݔ‬ଶ
‫ ݉ .ܽ .ݏ‬ൌ ‫݌‬ଵ · ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫݌‬ଶ · ‫ݔ‬ଶ

Para transformar este problema demaximización condicionada en un problema de
maximización libre hay que formar y maximizar el siguiente lagrangiano:
ఉ

ఈ
‫ ܮ‬ൌ ‫ݔ · ܣ‬ଵ · ‫ݔ‬ଶ െ ߣ · ሺെ݉ ൅ ‫݌‬ଵ · ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫݌‬ଶ · ‫ݔ‬ଶ ሻ

Las tres condiciones de primer orden (CPO) son:
߲‫ܮ‬
ఉ
ఈିଵ
ൌ ߙ · ‫ݔ · ܣ‬ଵ · ‫ݔ‬ଶ െ ߣ · ‫݌‬ଵ ൌ 0
߲‫ݔ‬ଵ
߲‫ܮ‬
ఉିଵ
ఈ
ൌ ߚ · ‫ݔ · ܣ‬ଵ · ‫ݔ‬ଶ െ ߣ · ‫݌‬ଶ ൌ 0
߲‫ݔ‬ଶ
߲‫ܮ‬
ൌ െ‫݌‬ଵ · ‫ݔ‬ଵ െ ‫݌‬ଶ · ‫ݔ‬ଶ ൅ ݉ ൌ 0
߲ߣDe las dos primeras CPO operando y simplificando se obtiene la condición de
tangencia:
ఉ

ఈିଵ
ߙ · ‫ݔ · ܣ‬ଵ · ‫ݔ‬ଶ

ఉିଵ

ఈ
ߚ · ‫ݔ · ܣ‬ଵ · ‫ݔ‬ଶ

ିଵ
‫݌‬ଵ ߙ · ‫ݔ‬ଵ · ‫ݔ‬ଶ
‫݌‬ଵ
‫݌‬ଵ · ߚ · ‫ݔ‬ଵ ·
ൌ ֜
ൌ ֜ ‫ݔ‬ଶ ൌ
‫݌‬ଶ
ߚ
‫݌‬ଶ
‫݌‬ଶ · ߙ

Incluyendo esta condición en la tercera ecuación del sistema de ecuaciones se obtiene:
‫݌‬ଵ · ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫݌‬ଶ ·

‫݌‬ଵ · ߚ · ‫ݔ‬ଵ ·
݉
ൌ ݉ ֜ ‫ݔ‬ଵ ൌ‫ߚ· ݌‬
‫݌‬ଶ · ߙ
൬‫݌‬ଵ ൅ ଵߙ ൰

Como vemos la cantidad demandada del bien x1 depende positivamente de la renta del
individuo y del parámetro ߙ, y negativamente del precio del bien x1 y del parámetro ߚ

Microeconomía Intermedia. Curso 2011/2012
Facultad de Derecho y Ciencias Sociales de Ciudad Real (UCLM)
Profesor: Julio del Corral Cuervo

PRÁCTICA 4
2.- Sea un consumidor con una función deutilidad U=x12x2. Sabiendo que el
consumidor gasta toda su renta en estos dos bienes, que tiene una renta de 600
u.m. y los precios de los bienes son p1=2 y p2=5. Se pide, si el precio del bien x1
disminuye hasta 1 u.m., obtener las cantidades de x1 y x2 que maximizan ahora la
utilidad del consumidor, y descomponer la variación de la cantidad consumida de
x1 en efecto renta y efectosustitución:
a) Utilizando el método de Slutsky
Lo primero que hay que hacer es ver la cantidad de x1 que maximiza la utilidad del
consumidor tanto con la restricción inicial como con la final. De esta forma sabremos
cual es el efecto total.
Hay que resolver el sistema de ecuaciones que se deriva de las tres CPO de máximo del
lagrangiano. De las dos primeras (las derivadas de L respecto de x1 y x2) seobtiene la
condición de tangencia entre la restricción presupuestaria y la curva de indiferencia.

Es decir,

Umg x1
Umg x2

=

2 ⋅ x1 ⋅ x 2
p ⋅x
p1
p
⇒
= 1 ⇒ x2 = 1 1
2
p2
p2
2 ⋅ p2
x1

De la tercera CPO se obtiene que el individuo tiene que estar en la restricción
presupuestaria. Insertando el valor de x2 en la restricción presupuestaria se llega a:
p1 ⋅ x1 + p 2 ⋅

p1 ⋅x1
p 
m
600

=
= m ⇒ x1  p1 + 1  = m ⇒ x1 =
= 200
p1  
2
2 ⋅ p2
2 


 p1 +   2 + 
2
2  


En la situación inicial el individuo demanda 200 unidades del bien x1.
Para ver cuál es la elección final hay que resolver el mismo programa pero alterando el
precio del bien x1 que conduce a:
m
600
x1 =
=
= 400
p1   1 

 p1 +  1 + 
2   2

Portanto el efecto total es de 200 unidades. Para descomponer el efecto total en efecto
sustitución hay que ver cuál es la restricción presupuestaria que pasa por el punto inicial
con los precios finales. Para ello hay que calcular la renta imaginaria de la que dispone
en esa restricción presupuestaria. Esta renta imaginaria se calcula utilizando la siguiente
fórmula:
1
m1 = m 0 + p1 − p10 ⋅ x10 =600 + (1 − 2 ) ⋅ 200 = 400

(

)

Microeconomía Intermedia. Curso 2011/2012
Facultad de Derecho y Ciencias Sociales de Ciudad Real (UCLM)
Profesor: Julio del Corral Cuervo

PRÁCTICA 4
La cantidad de x1 que maximiza la utilidad dada una renta de 400 u.m. y los precios
finales viene dada por la siguiente expresión:
)
400
m1
x1 =
=
= 266,6
p   1

 p1 + 1  1 + 
2...