Miller

L´ gica Simb´ lica y Demostraciones
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Introducci´ n al C´ lculo
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Diego Alejandro Mej´a Guzm´ n
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El estudio de las formas de pensamiento y los m´ todos de razonamiento se remonta desde el siglo V a.C.
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en las civilizaciones de China, India y Grecia. Fue en tiempo de Arist´ teles donde esta ciencia del lenguaje
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y la argumentaci´ n tom´ el nombre de L´ gica1 , la cual seestudi´ desde la filosof´a. No fue sino hasta el
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siglo XIX que la l´ gica comenz´ a formar parte de las matem´ ticas: bajo el nombre de l´ gica s´mb´ lica o
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matem´ tica, se lograron modelar los m´ todos argumentativos a partir de un lenguaje b´ sico y un (peque˜ o)
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conjunto de principios que, mediante c´ lculos “matem´ ticos” sencillos, permiten generarlas leyes univera
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sales del razonamiento.
Si bien es cierto que la l´ gica tiene distintos enfoques, las matem´ ticas est´ n fundamentadas sobre la
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L´ gica Cl´ sica y es donde centraremos el estudio de este cap´tulo. Otro tipo de l´ gicas, como la modal,
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difusa y probabil´stica, entre otras, aunque presentan formas alternativas e interesantes de estudiar los m´ toı
edos de razonamiento, no har´ n partes de este curso, puesto que sobre estos no se fundamenta la matem´ tica
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formal.
La l´ gica simb´ lica, en principio, se caracteriza por estructurar el razonamiento desde la sintaxis, es deo
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cir, desde el lenguaje y los principios l´ gicos, de forma independiente al significado de las afirmaciones ino
volucradas. Dar a entender lo anterior ser´ elprop´ sito de este cap´tulo, el cual no desarrollaremos con la riga
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urosidad total con que se estudia, pero s´ con la suficiente para dar al razonamiento un esquema matem´ tico
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claro y para dar un primer indicio de la estructuraci´ n formal de las matem´ ticas.
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Dividimos este cap´tulo en cinco secciones: en la primera secci´ n estudiamos el C´ lculo Proposicional,
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adonde introducimos la notaci´ n b´ sica de la l´ gica simb´ logica, para luego materializar la forma de efectuar
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deducciones en la segunda secci´ n. En la tercera secci´ n extendemos el lenguaje de la l´ gica y proponemos,
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de forma intuitiva, el C´ lculo de Predicados. Las tres secciones anteriores permiten introducir los m´ todos
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de demostraci´ n en matem´ ticas, loscuales estudiamos en la cuarta secci´ n. Por ultimo, introducimos la
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notaci´ n de la Teor´a de Conjuntos.
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1. El C´ lculo Proposicional
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El C´ lculo Proposicional es la primera forma en la l´ gica cl´ sica sobre la cual se analizan el argumento
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l´ gico mediante m´ todos matem´ ticos sencillos. Lo primero que hay que entender para su estudio es el
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lenguajesobre el que se presenta, el cual consta de pocos, pero poderosos ingredientes. A continuaci´ n
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introducimos paso a paso cada s´mbolo de este lenguaje, junto con su respectiva interpretaci´ n.
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1. Letras (Predicativas). Usamos las letras del alfabeto para respresentar afirmaciones a las cuales se les
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Proviene del griego logos, que significa “palabra, pensamiento, argumento”.

1puede dar un valor de verdad. Por ejemplo,
P : 1 + 1 = 2.
Q : Est´ lloviendo.
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R : Las vacas vuelan.
En este caso, P es una afirmaci´ n verdadera, Q es verdadera o falsa seg´ n el contexto y R es falsa (al
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menos en este planeta). Es importante que una afirmaci´ n representada por una letra predicativa pueda
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tomar un valor de verdad, por lo cual denotamos por V el valor verdad, y porF el valor falso. Por
ejemplo, frases como “π” “tres relojes” “du´ rmete” o “hazme un favor” no se pueden representar por
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una letra predicativa, puesto que no toman valores de verdad o falso. Por lo tanto, no se consideran como
afirmaciones del c´ lculo proposicional.
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Los siguientes signos los llamaremos s´mbolos l´ gicos, los cuales son operadores que se aplican a afirı
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maciones...