Minimos Cuadrados

Instituto de Física – Facultad de Ciencias Introducción a las Ciencias de la Tierra y el Espacio 1 – Curso 2007

ANEXO – PRÁCTICA 0 “TRATAMIENTO DE DATOS Y ERRORES”

Método de Mínimos Cuadrados 1Hasta ahora hemos aprendido a medir magnitudes físicas y a expresarlas correctamente. Ahora vamos a aprender algo más interesante, vamos a tratar de hacer algo que es un objetivo primario para losfísicos en serio.. intentar establecer .interdependencias causales entre dos variables. Por ejemplo, ustedes conocen la relación entre la longitud de un resorte (l) y la fuerza que aplicada (F): F = -k.l, donde k es una constante llamada constante elástica. Alguien debió deducir esta relación que no es caprichosa, es decir, a partir de l y F conocer su relación. La relación es de la forma lineal.Noten que se parece a la ecuación de una recta y = b x + a, donde F= y, b=- k, x= l, y a= 0 (recta por el origen). Supongamos que postulamos una relación de este tipo para dos variables cualesquiera delas cuales tenemos una serie de medidas hechas en el laboratorio y queremos determinar a y b. Notamos que debido a los errores experimentales (de origen estadístico, instrumental, etc..), los puntos( xi , y i ) no estarán perfectamente alineados. Para determinar los coeficientes a y b debemos encontrar la recta de mejor ajuste, que sea la más cercana a todas las parejas ( xi , y i ). Sidefinimos ε i = y i − (bx i + a) vemos que para cada par ( xi , y i ) esa diferencia en general no va a ser nula (ver figura). Vamos a imponer que la suma de los cuadrados de esas diferencias ( ε i ) sea lamenor posible. ¿Se acuerdan como hacíamos? Sí! Derivábamos e igualábamos a 0 para encontrar el mínimo, pero recuerden que es una función de dos variables ( a y b; las incógnitas que queremosdeterminar), así que hay que hacer derivadas parciales. Nuestra función es:

y desarrollando los términos del paréntesis:

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Extraído d el repartido “Tratamiento de Datos y Errores” del Laboratorio de...