Minimos cuadrados
Páginas: 4 (954 palabras)
Publicado: 31 de agosto de 2010
Métodos de mínimos cuadrados.
El procedimiento mas objetivos para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimoscuadrados". La recta resultante presenta dos características importantes:
1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste
∑ (Yｰ - Y) = 0.
2. Es mínima lasuma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría
una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Yｰ - Y)² → 0
(mínima).
El procedimiento consiste entonces enminimizar los residuos al cuadrado Ci²
|[pic] |Re emplazando [pic]nos queda |
||[pic] |
La obtención de los valores de a y b que minimizan esta función es un problema que sepuede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b: llamemos G a la función que se va a minimizar:
[pic]
Tomemos las derivadas parciales de G respecto de a y bque son las incógnitas y las igualamos a cero; de esta forma se obtienen dos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del modelo que pueden ser resueltas por cualquier método ya sea igualación o matricespara obtener los valores de a y b.
[pic]
Derivamos parcialmente la ecuación respecto de a
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] Primera ecuación normal
Derivamos parcialmente la ecuaciónrespecto de b
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] Segunda ecuación normal
Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones resultante.
Veamos el siguiente ejemplo:
Enun estudio económico se desea saber la relación entre el nivel de instrucción de las personas y el ingreso.
EJEMPLO 1
Se toma una muestra aleatoria de 8 ciudades de una región geográfica de 13...
El procedimiento mas objetivos para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimoscuadrados". La recta resultante presenta dos características importantes:
1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste
∑ (Yｰ - Y) = 0.
2. Es mínima lasuma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría
una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Yｰ - Y)² → 0
(mínima).
El procedimiento consiste entonces enminimizar los residuos al cuadrado Ci²
|[pic] |Re emplazando [pic]nos queda |
||[pic] |
La obtención de los valores de a y b que minimizan esta función es un problema que sepuede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b: llamemos G a la función que se va a minimizar:
[pic]
Tomemos las derivadas parciales de G respecto de a y bque son las incógnitas y las igualamos a cero; de esta forma se obtienen dos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del modelo que pueden ser resueltas por cualquier método ya sea igualación o matricespara obtener los valores de a y b.
[pic]
Derivamos parcialmente la ecuación respecto de a
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[pic] Primera ecuación normal
Derivamos parcialmente la ecuaciónrespecto de b
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[pic] Segunda ecuación normal
Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones resultante.
Veamos el siguiente ejemplo:
Enun estudio económico se desea saber la relación entre el nivel de instrucción de las personas y el ingreso.
EJEMPLO 1
Se toma una muestra aleatoria de 8 ciudades de una región geográfica de 13...
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