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Capitulo 4
Análisis de dualidad y sensibilidad
La solución óptima de una programación lineal se basa en una toma instantánea de las condiciones que prevalecen en el momento de formular y resolver el modelo. En el mundo real, los ambientes de decisión rara vez permanecen estáticos, y es esencial determinar cómo cambia la solución óptima cuando cambian los parámetros del modelo. Eso es loque hace el análisis de sensibilidad. Proporciona técnicas de computo eficiente para estudiar el comportamiento dinámico de la solución optima que resulta al hacer cambios en los parámetros del modelo.
Ya explicamos el análisis de sensibilidad a un nivel elemental en la sección 2.3. En este capítulo usaremos la teoría de la dualidad para presentar un tratamiento algebraico de esteimportante aspecto práctico.
4.1 DEFINICION DEL PROBLEMA DUAL
El problema dual es una programación lineal definida en forma directa y sistematica a partir del modelo original (o primal) de programación lineal. Los dos problemas están relacionados en forma tan estrecha que la relación optima de un problema produce en forma automática la resolución optima de otro.
En la mayor parte de laspresentaciones de programación lineal, el dual se define para varias formas primal, dependiente del sentido de la optimización (maximización o minimización), tipos de restricciones ( , y la orentacion de las variables (no negativa o no restringida). Este tipo de tratamiento puede confunfir (véase el problema 7, conjunto de problemas 4.1a). Por esta razón presentamos una sola definición quecomprenda en forma automática a todas las formas del primal.
Nuestra definición del problema dual rfequiere expresar el problema primal en forma de ecuaciones , como se presento en la sección 3.1: todas las restricciones son ecuaciones , con lado derecho no negativo y todas las variables son no negativas. Este requisito es consistente con el formato de la tabla de inicio símpex. En consecuencia, todo resultado obtenido a partir de la solución primal optima se aplican en forma directa al problema dual asociado.
Para mostrar como se forma el problema dual, se define el primal en forma de ecuación como sigue:
Maximizar o minimizar

Sujeta aLas variables , incluyen las variables excedentes, holguras y artificiales, si las hay.
La tabla 4.1 muestra como se construye el problema dual a partir del primal. De hecho se tiene que:
1. Se define una variable dual por cada ecuación primal (restricción).
2. Se define una restricción dual por cada variable primal.
3. Los coeficientes de restricción (columna) deuna variable primal define los coeficientes en el lado izquierdo de la restricción dual, y su coeficiente objetivo define el lado derecho.
4. Los coeficientes objetivos del dual son iguales al lado derecho de las ecuaciones de restricción primal.
Las reglas para determinar el sentido de la optimización (maximizando o minimizando), el tipo de restricción ( , y el signo de las variablesduales (siempre no restringido) se resumen en la tabla 4.2. Nótese que el sentido de la optimización en el dual siempre es el opuesto al del primal. Una forma fácil de recordar el tipo de restricción (es decir, ) en el dual es que si el objetivo del dual es minimizante (es decir, “apunta hacia abajo”), las restricciones son todas del tipo (es decir, “apuntan hacia arriba”). Cuando elobjetivo del dual es la maximización lo contrario es válido.












TABLA 4.1 Construcción del dual a partir del primal

Variables primales
… …
Variables duales … …
… …...