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En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli1 es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en suobra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.1
Enunciado [editar]
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de lasindeterminaciones del tipo  ó .
Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,


Guillaume de l'Hôpital
Demostración [editar]
El siguiente argumento se puede tomar como una«demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.2 4 Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.
Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo x2.
=> (a,b) se comporta como unentorno de x2.
Se cumple que para todo x perteneciente a (a,b) f(x2) Por def. de mínimo relativo f presenta un mínimo relativo en x2. (1)
f es derivable por hipótesis. (2)
De 1) y 2), por Condición necesaria para la existencia de extremos relativos f'(x2)=0
Teorema de Lagrange o del valor medio
Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813)
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable entodo punto del intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

H) f(x) es continua en [a,b]
    f(x) es derivable en (a,b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)

Geométricamente, (f(b) - f(a))/(b - a) es la tangente del ángulo que forma la secante que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) de la curva, con eleje ox.
f'(c) es la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva en el punto c, con el eje ox.
Entonces, el teorema expresa que existe al menos un punto en el intervalo (a,b) donde la tangente a la curva es paralela a la recta que pasa por A y B.
Demostración:
Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + hx, h perteneciente a R.
g es continua en [a,b] por ser suma de funcionescontinuas.
g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables.
Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle
=> f(a) + ha = f(b) + hb => f(a) - f(b) = hb - ha = h(b - a)
f(a) - f(b)
=> h = -----------
b - a
=> por teo. de Rolle, existe c perteneciente a (a,b) / g'(c) = 0
g'(x) = f'(x) + h
f(b) - f(a)
g'(c)= f'(c) + h = 0 => f'(c) = -----------
b - a
Considérese por ejemplo, el caso donde x es el tiempo y f(x) la distancia de un automóvil desde su punto de partida a lo largo de cierto camino.
Entonces (f(b) - f(a))/(b - a) es la velocidad promedio del automóvil en el período b - a. (Recordar que velocidad = distancia/tiempo)
Por lo tanto f'(a)=limx->a (f(x)- f(a))/(x - a) es la velocidad del auto en el tiempo a.
Si por ejemplo el auto ha recorrido 200km. en 2 hs., la velocidad promedio fue de 100km. por hora.
Por el teorema de Lagrange podemos decir que, al menos en un momento durante esas dos horas, el auto tuvo una velocidad de exactamente 100km/h.


Máximo absoluto
Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es...