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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE IXTAPALUCA

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Cap´
ıtulo 1
Aritm´ tica
e
En esta cap´
ıtulo se revisan conceptos, propiedades y operaciones entre numeros
´
racionales.

1.1.

Los numeros reales
´

El conjunto de numeros reales se denota por R. No se da una definici´n
´
o
rigurosa de este conjunto de numeros, s´lo se recuerdan algunos subconjuntos
´o
destacados de numeros reales.
´
El primero de ellos es el conjunto de los numeros naturales, denotado
´
por N, que consta de los numeros que se usan para contar y es
´
N = { 1, 2, 3, . . . }
donde los puntos suspensivos indican que la lista continua dando lugar a un
conjunto infinito.
La necesidad de resolver ecuaciones de la forma x + 1 = 0, o m´s genea
ralmente x + a = 0, para a ∈N, propici´ la introducci´n de los numeros
o
o
´
enteros, denotados por Z, m´s precisamente
a
Z = { . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } .
a
´
Una fracci´n es un numero de la forma , donde a es un numero entero
o
´
b
llamado el numerador de la fracci´n y b es otro numero entero, con b = 0
o
´
y llamado denominador de la fracci´n. El conjunto de todas las fracciones
o
forma elconjunto de los numeros racionales ; se denota como
´
a
Q = { q = , a, b ∈ Z, b = 0 } .
b

2

Cap´tulo 1
ı

Aritm´tica
e

N⊂Z ⊂Q ⊂R .
Existen numeros reales que no pueden expresarse en forma de fracci´n, a
´
o
tales numeros se les llama irracionales y el conjunto de estos numeros se
´
´
denota por I.
Finalmente se tiene el conjunto de los numeros reales como la unio n
´
´ajena de estos dos conjuntos, es decir:
R =Q∪I ,
con Q ∩ I = ∅.

1.1.1.

Propiedades de los numeros reales
´

Los numeros reales, junto con las operaciones de suma y producto satisfacen
´
ciertas propiedades que se aplican cuando se opera con ellos, las cuales son
conocidas. A continuaci´n se enuncian de manera expl´
o
ıcita algunas de estas
propiedades. Para cada a, b ∈ R:Cerradura. Se tiene a + b y a · b ∈ R, es decir, la suma y el producto de dos
numeros reales es nuevamente un numero real.
´
´
Conmutativa. Se tiene a + b = b + a y a · b = b · a, esto es, el orden de los
t´rminos en la suma o el de los factores en el producto, no altera el
e
resultado.
Asociativa. Se tiene (a + b) + c = a + (b + c) y (a · b) · c = a · (b · c), es decir
el orden de asociaci´nal hacer una suma o un producto da el mismo
o
resultado.
Distributiva. Se tiene a · (b + c) = a · b + a · c y (b + c) · a = b · a + c · a. Es
decir el producto distribuye con respecto a la suma.
Existencia de elementos neutros. Existen dos elementos distintos, 0 ∈ R y
1 ∈ R tal que a + 0 = 0 + a = a, a · 1 = 1 · a = a. El 0 se llama neutro
aditivo y el 1 neutro multiplicativo.
Existencia deinversos. Para cada a ∈ R existe el elemento −a ∈ R, el
inverso aditivo de a, tal que a + (−a) = 0. Si a = 0, existe a −1 ∈ R,
el inverso multiplicativo de a, tal que a · a−1 = a−1 · a = 1.

3

1.2

Divisivilidad

Estas propiedades se ensenan y aprenden de manera intuitiva desde los
˜
primeros cursos de matem´ticas. De igual forma, en el material expuesto
a
en este texto seaplicar´n estas propiedades sin mayor justificaci´n.
a
o

1.2.

Divisibilidad

Sean a, b dos numeros enteros. Se dice que b divide al numero a si existe
´
´
c ∈ Z tal que a = bc. Se observa entonces que a es divisible por b y por c.
Se tiene los siguientes criterios de divisibilidad.
Un numero es divisible por 2 si termina en numero par.
´
´
Un numero es divisible por 3 si al sumar suscifras se obtiene un numero
´
´
multiplo de 3.
´
Un numero es divisible por 4 si el numero formado por sus dos ultimas
´
´
´
cifras es multiplo de 4.
´
Un numero es divisible por 5 si termina en 0 ´ bien en 5.
´
o
Un numero es divisible por 10 si termina en cero.
´
Para saber si un numero es divisible por numeros diferentes a los mencionados
´
´
anteriormente es necesario...