modelacion estatica

UNIVERSIDAD NACIONAL
Departamento de Matem´aticas
Primer Parcial de Modelaci´on Est´atica

Tema µ

1. Si las matrices A, B y C satisfacen las propiedades: A = B + C, C 2 = 0
y BC = CB. Probar enforma general o refutar por medio de un ejemplo
que,
A4 = B 3 (B + 4C).
2. Encontrar, si existe, la matrix X que satisface la ecuaci´on:


3 1 −2
4 7
X
= −1 2 2  X.
−5 3
5 0 −2
3. Determinar, siexisten, los valores de a para los


x + (a2 − 1)y + z

(3a − 2 − a2 )y + (a − 2)z


(a2 − 4)z

que el sistema
=1
=a−1
=2−a

tiene:
(a) soluci´on u
´nica,
(b) infinitas soluciones o
(c) no tienesoluci´on.
Determinar la soluci´on en cada caso.
4. Determinar, si existen, condiciones sobre k y t para que el sistema


tx + y + z = k
x + ty + z = 1


kx + ky + z = 1
tenga:
(a) soluci´on u
´nica,(b) infinitas soluciones o
(c) no tenga soluci´on.
Determinar la soluci´on en cada caso.
Justificar adecuadamente cada respuesta.

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Departamento de Matem´aticas
Primer Parcial deModelaci´on Est´atica

Tema Z

1. Si las matrices X, Y y Z satisfacen las propiedades: X = Y + Z, Y 2 = 0
y Y Z = ZY . Probar en forma general o refutar por medio de un ejemplo
que,
X 4 = Z 3 (Z + 4Y).
2. Encontrar, si existe, la matrix X que satisface la ecuaci´on:


3 1 0
2 1
X
= −1 2 2  X.
−1 2
5 0 −2
3. Determinar, si existen, los valores de a para los


x + (a2 − 4)y + z

(3a − 2 − a2)y + (1 − a)z


(a2 − 1)z

que el sistema
=1
=a−2
=1−a

tiene:
(a) soluci´on u
´nica,
(b) infinitas soluciones o
(c) no tiene soluci´on.
Determinar la soluci´on en cada caso.
4. Determinar, siexisten, condiciones sobre α y β para que el sistema


αx + y + αz = 1
x + y + βz = α


βx + y + z = 1
tenga:
(a) soluci´on u
´nica,
(b) infinitas soluciones o
(c) no tenga soluci´on.
Determinar lasoluci´on en cada caso.
Justificar adecuadamente cada respuesta.

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Primer Parcial de Modelaci´on Est´atica

Tema Π

1. Si las matrices A, B y C...