Modelado Con Funciones De Transferencia

CONTROL 1: Modelado con Funciones de Transferencia
TAREA
Del Sistema Mecánico que se muestra en la figura de abajo, halle las siguientes funciones de transferencia:
G1=X1susG2=X2sus
El sistema mecánico; está conformado por dos masas, dos resortes y dos amortiguadores. Además se muestran lasrespectivas salidas X2, X1 y la entrada u(t) en el sistema.
u(t)
k1
b2
k2
b1

M1

M2

X1(t)
X2(t)

SOLUCIÓN
En la figura antes mostrada se observa un sistema mecánicocon más de una masa (en este caso M1 y M2) que se pueden mover en relación una con otra, y con la ayuda de la segunda ley de Newton (leyes físicas) se puede encontrar una ecuación diferencialpara cada masa.
1) Por definición la segunda ley de Newton:
F=ma
Obteniendo todas las fuerzas que intervienen en M1 y M2 :
fk1=k2X1 fuerza por el resorte 1
fb1=b1X1 fuerza por elamortiguador 1
fk2=k2X2 -X1 fuerza del resorte 2 debida a la presencia de M1 y M2
fM1=M1X1
fM2=M2X2
fb1=b2X2 fuerza por el amortiguador 2
Para las dos masas, las ecuaciones defuerzas:
-fk1-fb1+fk2+ut=fM1 ecuación de fuerzas para la masa 1 -fk2+fb1= fM2 ecuación de fuerzas para la masa 2
Sustituyendo nos queda una ecuacióndiferencial para cada masa:
-k1X1(t)-b1X1(t)+ut+k2X2t-X1t=M1X1(t) …(1)-b2X2(t)-k2X2t-X1t=M2X2(t) …(2)

2) Para obtenerla función detransferencia, lo primero que hacemos es transformar las ecuaciones (1) y (2) del dominio del tiempo al dominio de LaPlace, puesto que la función de transferencia se define en base a funciones en eldominio de LaPlace.

Entonces obtenemos la transformada de LaPlace de los elementos de la primera ecuación:
L-k1X1(t)=-k1LX1(t)=-k1X1(s)
L-b1X1(t)=-b1LX1(t)=-b1SX1s-X10=-b1sX1s
Lu(t)=u(s)...