Modelado de sistemas fisicos

Modelado:
* Leyes de los elementos.
* Ecuaciones de equilibrio.
* Representación de sistemas por ecuaciones diferenciales.
* Función de transferencia.
Concepto de Estado:
Es una variable asociada a los elementos que almacenan energía en un sistema y que proporcionan información de su comportamiento.
Ecuaciones de Estado:
Mínimo número de ecuaciones asociadas a los estados quedan información del sistema, red, proceso, planta, etc.

CIRCUITOS ELÉCTRICOS.

Elementos:
* Resistencia/Resistor.
* Capacitancia/Capacitor (Estado).
* Inductancia/Inductor ó bobina (Estado)
Fuentes independientes:
* Potencial.
* Corriente.
El número de ecuaciones de estado va a depender del número de estados.


Ecuaciones de los elementos:
* Resistor V=RI
*Capacitor Ic=CdVcdt
* Inductor VL=Ldidt
Leyes Generales:
* KVL Vi=0
* KCL ii=0
Ejemplo:
t=0
i
La
Ra

Ra=RL=Resistencia de la armadura
La=LL=Inductancia de la armadura
V=VRa+VLa→1
Ecuaciones de los elementos:
VRa=Rai→2
VLa=Ladidt→3
Sustituimos 2 y 3 en 1
V=Rai+Ladidt→Estado
didt=VLa-RaLai
didt=-RaLai+VLa
xt=axt+bμt
a=-RaLa
b=1La
xt=didt xt=iV=μ(t)

Función de transferencia.
Es la relación que existe entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, cuando las condiciones iniciales son nulas.
Hs=función de transferencia
Hs=Kqsps=YsUs=salidasentradas
*Condiciones iniciales nulas.

Ejemplo:

2 ecuaciones de estado



2 ecuaciones de estado


2 ecuaciones de estado

2 ecuacionesde estado


2 ecuaciones de estado

Ejemplo:

KVL : V=VR+VC→1
KCL: iR=iC→2
Elementos de la ecuación:
* Resistor : V=Ri→3
* Capacitor: iC=CdVCdt→4
Sustituyendo 2, 3 y 4 en 1:
V=Ri+VC
i=iR=iC=CdVCdt
V=RCdVCdt+VC
dVCdt=VRC-VCRC=-VCRC+VRC

Ejemplo:

KVL : V=VR+VC+VL→1
KCL: iR=iC=iR=iL→2
Elementos de la ecuación:
* Resistor : VR=RiR=RiC=RiL→3
* Capacitor:iC=CdVCdt→4
* Inductor: VL=Ldidt→5
De 1 se obtiene la primera ecuación de estado. Despejando
VL=V-VR-VC=Ldidt=V-RiL-VC
didt=VL-RiLL-VCL
De 2 se obtiene la 2da ecuación de estado.
iL=iC=CdVCdt⇔dVCdt=iLC

xt=Axt+Bμ(t)

t=0
Ejemplo:

Ecuaciones generales:
Is=IR+IL+IC→1
VR=VL=VC→2
Ecuaciones de los elementos:
VR=RiR→3
VL=LdiLdt→4
iC=CdVCdt→5
De 2 VL=VC pero de 4 VL=LdiLdt. . .VC=LdiLdt
diLdt=1LVC→6 Una ecuación de estado
De 2 VR=VC. . . VC=RiR. . . iR=IR=VCR
Is=IR+IL+IC
Is=VCR+IL+CdVCdt
dVCdt=IsC-VCRC-ILC→7 segunda ecuación de estado

x(t)=Ax(t)+Bμ(t)

Ejemplo:
malla II
malla I
t=0

Ecuaciones generales:
Malla I : Vf=VR1+VC1→1
Malla II: VC1=VR2+VC2→2
Nodos: iR1=iC1+iR2→3
iR2=iC2→4
Ecuaciones de los elementos:
VR1=R1iR1→5iC1=C1dVC1dt→6
VR2=R2iR2→7
iC2=C2dVC2dt→8

De 1 Vf=VR1+VC1
De 5 VR1=R1iR1⇒iR1=VR1R1→9
De 3 iR1=iC1+iR2
De 9 iR1=VR1R1 , pero de 3 iR1=iC1+iR2 . . . VR1=R1iC1+iR2→10
Pero de iR2=VC1-VC2R2→11
Sustituyendo 11 en 10
VR1=RC1C1dVCdt+R1VC1-VC2R2→12
Sustituyendo 12 en 1
Vf=R1C1dVC1dt+R1R2VC1-R1R2VC2+VC1

De 4 y 2
VR2=VC1-VC2
VR2=R2iR2
Vf=R1C1dVC1dt+R1R2VC1-VC2+VC1
Vf=R1C1dVC1dt-R1R2R2iR2+VC1dVC1dt=Vf+R1R2R2iR2-VC1R1C1

Vf=R3Isc
Isc=VfR3
RTH=Req=R3R4R3+R4
Si usamos el equivalente de Thevenin:
Isc
Isc

Req
iC1
iL2
iL1

Vf=VReq+VL1+VR1+VC1+VC2+VR5→1
Vf=VReq+VL2+VR2+VC2+VR5→2
Isc=iL1+iL2→3
Sabemos que si sustituimos 3 en 1 y 2, según sea, tenemos:
VReq=ReqiL1+iL2→4
iL1=iR1=iC1=C1dVC1dt→5
De 5, tenemos VR1=R1iL1→6
Si regresamos al circuito original del problema, nos damoscuenta que:
iL1=iR1=iC1=C1dVC1dt
dVC1dt=iL1C→Ec.de Estadoo 1
Si tenemos que:
iR3=iL1+iL2+iR4
iL1+iL2=iC2 ; iC2=C2dVc2dt→6
dVc2dt=iL1C2+iL2C2→Ec. de Estado 2
Sabemos de 6 que iL1+iL2=iC2 pero también sabemos que iC2=iR5
VR5=R5iL1+iL2→7
Tenemos que iR2=iL2
VR2=R2iL2→8
Finalmente tenemos las ecuaciones generales:
VL1=L1diL1dt→9
VL2=L2diL2dt→10
iC1=C1dVC1dt→11
iC2=C2dVC2dt→12...