Modelado matematico de sistemas lineales

Sistemas
No Lineales
y Método de
Linealización
Modelado Matemático
de Sistemas
M. en C. Rubén Velázquez Cuevas

En general los modelos que representan sistemas físicos reales mediante expresiones matemáticas son
idealizaciones bajo condiciones específicas o hipótesis. Una de estas consideraciones es la propiedad de
Linealidad; sin embargo, dicho comportamiento se presenta siempredentro de un margen de operación
acotado. Cuando se desea conocer el comportamiento de un sistema fuera de ese margen o el sistema
simplemente no posee condiciones de linealidad, entonces lo que se obtiene es un modelo No Lineal.
Como se sabe, la propiedad de linealidad satisface el principio de superposición. Es decir, que la
relación matemática que existe entre las variables del dominio oargumento y la imagen satisface las
condiciones de homogeneidad (o proporcionalidad) y aditividad. En otras palabras, una función
=
es lineal si y solo si dados
,
=
,
=
∈ , , ∈ ℝ constantes &
respectivamente; entonces la ecuación (1) se cumple:
+

=

+

(1)

Lo anterior se puede visualizar en los siguientes diagramas:
Para:
∙
∙

Si y solo si:

+

∙

+

Básicamente, larelación lineal salida/entrada queda representada mediante la expresión matemática
de la ecuación de la recta que pasa por el origen (ecuación (2)).
=

(2)

Cabe mencionar que la expresión se puede extender para el caso
=

,

,⋯,

⋮

2

=∑

−dimensional (ecuación (3)).

(3)

Sin embargo, como ya se mencionó los sistemas físicos reales son localmente lineales dentro de un
margende operación y no así a nivel global. Por ejemplo, un motor de CD representado mediante un
modelo lineal indicaría que la velocidad de salida se puede incrementar ilimitadamente si se incrementa
el voltaje de entrada. Sin embargo, en la práctica esto no es cierto debido a que se presenta una
característica de saturación que limita la velocidad máxima, así que por más que se incremente elvoltaje en la entrada la velocidad no aumentará más.
Evidentemente que los sistemas o funciones matemáticas que no satisfacen esta condición se conocen
como no lineales. En general las características no lineales se pueden clasificar en dos tipos: Estáticas
y Dinámicas.
No linealidades Estáticas
Las no linealidades estáticas son aquellas que guardan una relación funcional invariante; es deciralgebraica fija. Algunas de las no linealidades más representativas son las siguientes:
1. Saturación. Es la propiedad que define un intervalo de valores dentro de los cuales la relación
salida/entrada es lineal (ecuación de la recta) pero que fuera de ese intervalo es igual a una
constante y por lo tanto no lineal (ver figura 1). La combinación de una relación lineal con una
no lineal dará porresultado una relación total NO LINEAL.

Figura 1. Característica de saturación
2. Zona muerta. Es la propiedad no lineal que define una relación nula (igual a cero) dentro de un
intervalo de valores, mientras que fuera de dicho intervalo se establece otra relación. En la
figura 2 se muestra el efecto de la zona muerta (característica de acoplamientos mecánicos).

Figura 2. Característicade zona muerta
3

3. Fricción de Coulomb. Esta propiedad no lineal se conoce como la fuerza de amplitud constante
a cualquier cambio de velocidad, pero si el sentido de la velocidad cambia, el signo de la fuerza
de fricción también cambia. La fricción de coulomb se caracteriza mediante la función signo y
también se le conoce como relevador de dos posiciones.

Figura 3. Característica defricción de Coulomb
con
4. Histéresis. Es la propiedad no lineal que se compone de una característica o gráfica
dos caminos que dependen del valor actual de y de la forma en cómo llegó a dicho valor. Por
ejemplo, en la figura 4 se muestra el efecto de histéresis: si
está en el extremo izquierdo,
cuando va de menos a más se adopta el camino de la derecha. Siempre que no llegue al otro...