Modelado Matematico

Modelado matem´tico a
Sistemas lineales y teor´ de control ıa

Conceptos Funci´n de o transferencia Sistemas de control autom´tico a Controladores Diagramas de bloques Modelado en el espacio de estados Relaci´n entre la o ecuaci´n de o estado y la funci´n de o transferencia Modelado de sistemas f´ ısicos Diagramas de flujo de se˜al n

Sistemas lineales y teor´ de control ıa
Modeladomatem´tico a Eloy Anguiano Rey eloy.anguiano@uam.es

Conceptos
Sistemas lineales y teor´ de control ıa

Modelos matem´ticos: a
Sistemas distintos pueden tener modelos matem´ticos a id´nticos. e Un mismo sistema se pueden utilizar diversas representaciones del modelo. Por ejemplo, para el c´lculo del control ´ptimo es interesante utilizar a o representaciones en el estado de estados pero para elan´lisis de la estabilidad de un sistema es m´s a a interesante la representaci´n a trav´s de la funci´n de o e o transferencia.

Conceptos Funci´n de o transferencia Sistemas de control autom´tico a Controladores Diagramas de bloques Modelado en el espacio de estados Relaci´n entre la o ecuaci´n de o estado y la funci´n de o transferencia Modelado de sistemas f´ ısicos Diagramas de flujo de se˜al nSimplicidad frente a precisi´n: o
Al obtener un modelo matem´tico de un sistema es a importante llegar a un compromiso entre precisi´n y o simplicidad del modelo. En muchos casos es necesario ignorar comportamientos no lineales o la existencia de par´metros distribuidos que pueden hacer dif´ a ıcilmente analizable al sistema. Si los efectos sobre la salida de estas propiedades es peque˜o, unmodelo simplificado n que no los tenga en cuenta seguir´ teniendo un buen a acuerdo entre el modelo y la realidad.

Conceptos
Sistemas lineales y teor´ de control ıa

Conceptos Funci´n de o transferencia Sistemas de control autom´tico a Controladores Diagramas de bloques Modelado en el espacio de estados Relaci´n entre la o ecuaci´n de o estado y la funci´n de o transferencia Modelado desistemas f´ ısicos Diagramas de flujo de se˜al n

Sistemas lineales:
Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposici´n. Es decir, que la respuesta a la suma o de dos se˜ales es la suma de las respuestas a se˜ales n n individuales.

Sistemas lineales invariantes y variantes en el tiempo:
Una ecuaci´n diferencial es lineal si sus coeficientes no o dependen de la variabledependiente. Una ecuaci´n diferencial es invariante en el tiempo o s´lo si sus coeficientes no dependen de la variable o independiente.

Funci´n de transferencia o
Definici´n o
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Conceptos Funci´n de o transferencia
Definici´n o Ejercicio Integral de convoluci´n o Respuesta-impulso

Definici´n o
S´lo se puede definir en sistemas diferenciales lineales oindependiente es el tiempo. Se define como el cociente de la trasformada de Laplace de la salida (funci´n respuesta) y la transformada de Laplace de la o entrada (funci´n excitaci´n) bajo la suposici´n de todas las o o o condiciones iniciales a 0. funci´n de transferencia = G (s) = o L[output] L[input]

Sistemas de control autom´tico a Controladores Diagramas de bloques Modelado en el espacio deestados Relaci´n entre la o ecuaci´n de o estado y la funci´n de o transferencia

cond. iniciales a 0

Funci´n de transferencia o
Definici´n o
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Conceptos Funci´n de o transferencia
Definici´n o Ejercicio Integral de convoluci´n o Respuesta-impulso

Ejemplo de sistema lineal invariante en el tiempo y su funci´n o de transferencia Sup´ngase el sistema dadopor la ecuaci´n diferencial: o o
a0 y +a1
(n) (n−1)

y

+ · · · an−1 y +an y = b0 x +b1 ˙

(m)

(m−1)

x

+ · · · bm−1 x +bm x ˙

con n ≥ m.

Sistemas de control autom´tico a Controladores Diagramas de bloques Modelado en el espacio de estados Relaci´n entre la o ecuaci´n de o estado y la funci´n de o transferencia

Su funci´n de transferencia ser´ por tanto: o a
Y (s) b0...