Modelado

Ê ÔÓÖØ ÔÖ
Ø
½ Ë ×Ø Ñ × ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ò
À Ð Ö Ð Ü × Ô ÖÖ ÐÐÓ

 ÒÙ ÖÝ ¾ ¸ ¾¼½¾

ÈÖÓ ×ÓÖ Ä ÓÒ Ó ËÓÐ ÕÙ

½ Ç Â ÌÁÎÇ
• Ê
ÓÖ

Ö Ø ÔÓ× ÑÓ Ð Ó Ô Ö × ×Ø Ñ × Ñ
ØÖÓÒ
Ó׸ ÐÓ×
Ù Ð × ÔÙ Ò × Ö × ×Ø Ñ × Ñ
Ò
Ó׸ Ð
Ø
ØÖ
Ó׸ Ö ÙÐ
Ó׸ Ø ÖÑ
Ó׸ Ó Ð ÒØ Ö

ÓÒ ÐÐÓ׺

¾ Å Ê Ç Ì ÇÊÁ Ç
ÅÇ Ä Ç
Æ ÛØÓÒ¹ ÙÐ Ö

ÒØÖÓ Ð ÑÓ Ð Ó ÐÓ× × ×Ø Ñ × ÔÓÖ ×Ø Ø
Ò
¸ ÑÔ Ö Ò Ð × Ð Ý × × ¹
×ÕÙ Ö Ò Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ó ÒØ Ö

ÓÒ ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ ÐÓ×
ÓÒ ÓÖÑ Òº Ð × Ä × ÜÔÖ × ÓÒ × Ñ Ø Ñ Ø
× ÕÙ ÔÐ ×Ñ Ò ×Ø × ÒØ ÖÖ Ð
ÓÒ × Ý Ð Ø ÓÖ
Ù
ÓÒ × Ö Ò
Р׸ Ô ÖÑ Ø Ò Ò
ÓÒØÖ Ö Ð ÑÓ ÐÓ Ñ Ø Ñ Ø
Ó ÕÙ ÜÔÖ × Ð Ò Ñ
ÐÓ× × ×Ø Ñ ×º Ò Ö ÐÑ ÒØ Ô ÖØ Ö Ð
Ù
ÓÒ Ö Ò
Ð ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ð
ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ð × ×Ø Ñ ¸ × ÔÐ ÒØ Ð ÑÓ Ð Ó ÔÓÖ
Ù
ÓÒ ×Ø Ó Ý ÙÒ
ÓÒ ØÖ Ò× Ö Ò
º × ¸ × Ø Ò Ò ¿ Ø ÔÓ× Ö ÔÖ × ÒØÓÒ Ñ Ø Ñ Ø
Ð Ò Ñ
ÙÒ × ×Ø Ñ Ð ×
Ù
ÓÒ × Ö Ò
Р׸ Ð × ÙÒ¹
ÓÒ × ØÖ Ò× Ö Ò
Ý Ð
Ù
ÓÒ ×Ø Óº ÄÓ× × ×Ø Ñ × Ó ÒØ Ö

ÓÒ ÐÐÓ׸ × ØÖ Ù
Ø Ò Ö ÙÒ × ×Ø Ñ Ñ
ØÖÓÒ
Ó¸ ÓÒ ÒØ Ö
ØÙ Ò × ×Ø Ñ × Ð
ØÖ
Ó׸ Ñ
Ò
Ó׸ Ö ÙÐ
Ó׸ Ø ÖÑ
Ó× Ó ÕÙÑ
Ó× ÒØÖ ÓØÖÓ׺ Ä × ÔÖ Ò
¹ Ô Ð × Ö Ð
ÓÒ × ×Ø Ò ÙÒ Ñ ÒØ × Ò Ð × Ð Ý × Æ ÛØÓÒº
ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò

×Ø Ø ÔÓ ÑÓ Ð Ó × × Ò Ð ÔÐ ÒØ Ñ ÒØÓ Ð
Ù
ÓÒÐ Ö Ò ¸ Ô ÖØ Ö Ð Ð Ö Ò ÒÓ¸ ÕÙ Ò ×Ù Ú Þ¸ × ÔÐ ÒØ
ÓÒ Ð Ò Ö
Ò Ø
Ý ÔÓØ Ò
Ð ÐÓ× × ×Ø Ñ × º Ä ÔÖ Ò
Ô Ð
ÓÒ
ÔØÓ ×Ø Ò ÕÙ Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ × ØÓÑ Ö
ÓÒ × Ò
ÓÓÖ Ò × Ò Ö Ð Þ ×¸ ×ØÓ × Ö Ö Ò
× ÙÒ ½

ÔÙÒØÓ ÐÓ Ðº È Ö ÔÐ ÒØ Ö Ð ÑÓ ÐÓ Ñ Ø Ñ Ø
Ó ÔÓÖ ×Ø Ø
Ò
×
ÙÑÔÐ Ö
•

Ò

Ø ×ÙÐØ Ú Ö

ÖÑ Ò
ÓÒ Ð Ò Ö
Ò Ø
Ý Ð Ò Ö ÔÓØ Ò
Ð º ×ØÓ× Ö ¹ Ó× Ò ×Ø Ö Ö Ö Ò
Ó× ÑÓÚ Ñ ÒØÓ× Ó
ÓÑÔÓÖØ ÑÒØÓ× Ð × Ò
ÓÓÖ Ò × Ò Ö Ð Þ ×º 1 2 2 m1 v Ý Ô gm1 h ÐÐ Ö Ò Ð ¼ ÒÓ Äº Ä Ö Ò º

•

Ø ÖÑ Ò
ÓÒ Ä
¹ Ô
d dt dL dq ˙

• ÈÐ ÒØ Ñ ÒØÓ −
dL dq


Ù
ÓÒ

¿ Ê ËÍÄÌ
¿º½ ÅÓ ½ Ð Ë ×Ø Ñ

ÇË

Ó ÔÓÖ Æ ÛØÓÒ¹ ÙÐ Ö

• È Ö Ñ½ F = m1 x1 ¨ F k1 + F k2 + F B = m1 x1 ¨

Ë

ÑÓ×

F k = k ∗ △x F B=B ∗ △x ˙

ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
m1 x1 k 1 (0 − x1 )·k 2 (x2 − x1 )·B(x2 − x1 ) ¨ ˙ ˙ m1 x1 ·(k 1 + k2 )x1 ·B∗ x1 k 2 x2 ·B x2 ´½µ ¨ ˙ ˙ • È Ö Ñ¾ F = m2 x2 ¨ F (t) + F k2 + F B = m1 x1 ¨

ÒØÓÒ
× ¾

m2 x2 k2 (x1 − x2 )·B(x1 − x2 ) + F (t) ¨ ˙ ˙ m2 x2 ·k 2 x2 ·B x2 k 2 x1 ·B x1 + F (t) ´¾µ ¨ ˙ ˙ •

ÔÐ
Ò Ó Ð ÔÐ
2 2

´½µ Ý ´¾µ
x2 (s) [Bs + k2 ] ´¿µ x1 (s) [Bs + k2 ] + F (s) ´ µ

x1 (s) m1 s + Bs + (k1 + k2 ) x2 (s) m2 s + Bs + k2 •

ÙÒ
ÓÒ ØÖ Ò× Ö Ò
Ð
Ù
ÓÒ ´¿µ ×Ô
x1 (s) F (s)ÑÓ× x2 (s)Ý Ð Ö ÑÔÐ Þ ÑÓ× Ò ´ µ

=

Bs+k2 s4 m1 m2 +s3 B(m1 +m2 )+s2 (k2 m1 +m2 (k1 +k2 ))+sBk1 +k2 (k1 +2k2 )

•


Ù
ÓÒ ×
x1 = ¨ −x1 m1 ˙ B

Ö Ò
Ð ×
+k k − x1 (k1m1 2 ) + x2 m1 + x2 m21 ˙ B F (t) m2

k k ˙ B x2 = −x2 m2 − x2 m22 + x1 m2 + x2 m22 + ¨ ˙ B

•

Ò
ÓÒ Ú Ö
X 1 (t) = x1 (t) X 2 (t) = x1 (t) ˙ X 3 (t) = x2 (t) X 4 (t) = x2 (t) ˙

Ð ×

×Ø Ó

• Î Ö Ð ×ÒØÖ ˙ X 1 (t) = X2 (t)
+k k B B ˙ X 2 (t) = x1 = −X2 m1 − X1 (k1m1 2 ) + X4 m1 + X3 m21 ¨

˙ X 3 (t) = X4 (t)
k ¨ k B B ˙ X 4 (t) = x2 = −X4 m2 − X3 m22 + X2 m2 + X1 m22 + ¨ F (t) m2

• Î Ö

Ð ×

× Ð

Y 1 (t) = X2 (t) Y 2 (t) = X4 (t) • Ê ÔÖ × ÒØ
ÓÒ Ñ ØÖ
Ð  0 1  −(k1 +k2 ) − B m1 m1 X(t) =   0 0
k2 m2 B m2

0
k2 m1

1
B m1

0 k − m22

1 B − m2

 0     ´Øµ ·  0 ´Øµ  0   
1 m2



´Øµ

0 1 0 0

0 0

0 1

´Øµ

¿

Ë ×Ø Ñ

¾

À
ÑÓ× ×ÙÑ ØÓÖ
iS = iR + il1 iR = ix + il2 • È Ö is = is = • È Ö


ÓÖÖ ÒØ × Ò ÐÓ× ÒÓ Ó×

Ð ÒÓ Ó ½
v1−v2 + il1 R ˙ ˙ l1∗il1 l2∗il2 R − R

+ il1 ´½µ

Ð ÒÓ Ó ¾
+ il2 ´¾µ

v2 v1−v2 = Rx + il2 R ˙ ˙ ˙ l2∗il2 l1∗il1 = l2∗il2 R − R Rx

•

ÔÐ
Ò Ó Ð ÔÐ

´½µ Ý ´¾µ ´ µ

is (s) = il1 (s) +s∗l1∗il1 (s) − s∗l2∗il2 (s) ´¿µ R R s∗l1∗il1 (s) s∗l2∗il2 (s) s∗l2∗il2 (s) − = + i2 (s) R R Rx •

ÙÒ
ÓÒ ØÖ Ò× Ö Ò
Ð
Ù
ÓÒ ´¿µ ×Ô
i2 (s) is (s)

ÑÓ× il1 Ý Ð Ö ÑÔÐ Þ ÑÓ× Ò ´ µ ×Ø Ó

=

s∗l1 1 1 s2 ∗l2∗l1( Rx + R )+s∗ l2∗R +1 Rx

•

Ò
ÓÒ Ú Ö
X 1 (t) = q1 (t) X 2 (t) = il1 (t) X 3 (t) = q2 (t) X 4 (t) = il2 (t)

Ð ×

ÒØÖ • Î Ö Ð × ˙ 1 (t) = X2 (t) X
˙ l2 R R ˙ ˙ X...