Modelamiento matematico

Tema 3

Modelos Matem´ticos basados en
a
E. D. O. de Primer Orden I
Incluiremos en este Tema algunos modelos sencillos que utilizan ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden. En el Tema siguiente, continuaci´n de ´ste, nos centraremos
o
e
en modificaciones o generalizaciones m´s complicadas, que a menudo no pueden ser
a
resueltos de forma exacta.

3.1

Modelizaci´nMatem´tica
o
a

En general se entiende por “modelizaci´n matem´tica” el proceso por el cual se imita la
o
a
realidad en t´rminos matem´ticos. El objetivo evidentemente es bien explicar o comprene
a
der los fen´menos naturales, bien encontrar respuestas a problemas t´cnicos o cient´
o
e
ıficos.
Toda modelizaci´n lleva consigo un proceso de “idealizaci´n”. La realidad suele ser
o
o
compleja ylos problemas reales habitualmente dependen de multitud de par´metros o
a
variables, al mismo tiempo que suelen estar inter-relacionados con otros procesos. El
dise˜o de un modelo matem´tico lleva aparejada la simplificaci´n de muchos aspectos
n
a
o
del problema real.
Veremos en este Tema varios modelos matem´ticos relativos a las Ciencias Naturales
a
en general, en los que el “modelo”consiste en representar un fen´meno por medio de una
o
ecuaci´n diferencial ordinaria de primer orden. La resoluci´n de la ecuaci´n permitir´ no
o
o
o
a
s´lo comprender en profundidad algunos aspectos relevantes del fen´meno en cuesti´n
o
o
o
sino adem´s, en los casos en los que se trate de estudiar la evoluci´n de un sistema, hacer
a
o
predicciones sobre el comportamiento futuro delmismo.
De manera general (y simplificada), la modelizaci´n matem´tica puede describirse
o
a
1:
de forma sistem´tica por medio de los siguientes pasos a seguir
a
1

Para detalles, ver: T.P. Dreyer, Modelling with Ordinary Differential Equations, CRC Press, 1993.

1

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CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEMATICOS / TEMA 3

• 1. Identificaci´n. Se trata de clarificar las preguntas quese intentan responder
o
con el modelo, formular el problema en palabras, documentar los datos relevantes
e identificar el mecanismo subyacente al problema real.
• 2. Suposiciones. El problema debe ser analizado para decidir los factores del
mismo que son importantes y aqu´llos que pueden ser ignorados. Con todo ello
e
deben hacerse suposiciones (o idealizaciones) lo m´s realistas posible.a
• 3. Construcci´n. En este paso se “construye” el modelo, es decir, se traduce al
o
lenguaje matem´tico el problema (junto con las suposiciones anteriormente realia
zadas) obteni´ndose un conjunto de ecuaciones (o inecuaciones) despu´s de haber
e
e
identificado las variables que deben intervenir en las mismas.
• 4. An´lisis o Resoluci´n. Se trata de la resoluci´n del problema. Las soluao
o
ciones consistir´n en general en funciones por medio de las cuales la o las variables
a
dependientes se expresar´n en t´rminos de la o las variables independientes. Por
a
e
otro lado, se obtendr´ informaci´n acerca de los par´metros que intervienen en el
a
o
a
modelo.
• 5. Interpretaci´n. En este paso, la soluci´n matem´tica debe ser comparada con
o
o
a
la realidad paraobservar si se ajusta a lo conocido acerca del problema real. Se
trata, en definitiva, de interrumpir el proceso si se obtiene soluciones carentes de
sentido real.
• 6. Validaci´n. Una vez interpretada la soluci´n, se comprueba num´ricamente
o
o
e
que concuerda con los datos disponibles sobre el problema.
• 7. Implementaci´n. Finalmente, se usa el modelo para describir el problema,
o
se puedenpor tanto realizar predicciones sobre los valores de las variables. Es
necesario prestar atenci´n al rango de validez del modelo.
o

3.2

Modelos de Din´mica de poblaciones para una s´la esa
o
pecie

Los Modelos matem´ticos que intentan describir c´mo la poblaci´n de una especie evolua
o
o
ciona frente al tiempo tienen una larga y fruct´
ıfera historia. Presentaremos en este Tema...