Modelo atomico

EL MODELO ATOMICO DE BOHR
En 1913, Niels Bohr ide´o un modelo at´omico que explica perfectamente los espectros
determinados experimentalmente para ´atomos hidrogenoides. Estos son sistemas formados solamente por dos cargas, una positiva y una negativa, y ejemplos de ellos
son el ´atomo de hidr´ogeno, H, los iones He+ , Li+2 , Be+3 , . . . .
El modelo de Bohr se puede describir por medio decuatro postulados:
Postulado I
Un ´atomo hidrogenoide consta de un n´
ucleo central con carga +Ze (d´onde Z es el
n´
umero at´omico) y de un electr´on de carga −e girando alrededor del n´
ucleo en una
´orbita circular de radio r con velocidad v constante.
Un electr´on que gira alrededor de un n´
ucleo en una ´orbita de radio r y con
velocidad v se encuentra sujeto a la fuerza de atracci´onelectrost´atica que el n´
ucleo
de carga +Ze ejerce sobre ´el:
Fe =

(Ze)(−e)
Ze2
=
−
r2
r2

y a la fuerza centr´ıfuga:
mv 2
r
A fin de que la ´orbita sea estable estas fuerzas deben compensarse, y cumplirse que:
Fc =

mv 2 Ze2
− 2 =0
(1)
r
r
En la ecuaci´on anterior hay dos inc´ognitas, r y v, por lo que para conocerlas es
necesario encontrar otra relaci´on entre ellas.Esta se obtiene del segundo postulado
de Bohr, el cual impone una condici´on sobre el momento angular del electr´on.
Postulado II
El electr´on recorre una determinada ´orbita n con momento angular:
L = mvr = n

h
2π

= n¯
h

n = 1, 2, . . .

(2)

El segundo postulado implica que el momento angular del electr´on est´a cuantizado, es decir, que s´olo puede adquirir determinadosvalores caracterizados por el
n´
umero cu´antico n. La ecuaci´on 2 se puede explicar utilizando una simple analog´ıa
entre el movimiento de la part´ıcula y una onda estacionaria montada sobre la ´orbita,
1

como se explica a continuaci´on.
Para que se establezca una onda estacionaria sobre el per´ımetro 2πr de la ´orbita
circular, ´esta debe ser tal que quepan un n´
umero entero de longitudesde onda:
2πr = nλ

n = 1, 2, . . .

(3)

Si n no fuera un n´
umero entero, las posiciones de los nodos cambiar´ıan en cada
vuelta y la onda no ser´ıa estacionaria. Aplicando la relaci´on de de Broglie a la ec. 3
se tiene que:
2πr = n

h
nh
=
p
mv

o sea:
mvr = n¯
h
que es justamente el segundo postulado.
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones 1 y 2 se puedenobtener expresiones para las inc´ognitas rn y vn correspondientes al radio y a la velocidad del
electr´on cuando ocupa la ´orbita n:
n2 ¯
h2
Ze2 m

(4)

Ze2
n¯
h
=
mrn
n¯
h

(5)

rn =
y
vn =

Asimismo se puede determinar la energ´ıa total En del electr´on en la ´orbita n:
En (total) = En (cin´etica) + En (potencial)
1
Ze2
=
mvn2 −
2
rn
De la ec. 1:
mvn2 =

Ze2
rn

En= −

1 Ze2
2 rn

de modo que:

2

(6)

Se observa que la energ´ıa total es la mitad de la energ´ıa potencial. Esta propiedad,
llamada teorema del virial, es v´alida para todos los sistemas en los cuales el potencial
es una funci´on homog´enea de grado (-1) en las coordenadas.
Substituyendo rn por su valor (ec. 4) se tiene, finalmente la expresi´on para la
energ´ıa:
En = −

e4 m2¯
h2

Z2
n2

(7)

Es interesante notar que las energ´ıas En est´an cuantizadas. Adem´as, todas son
negativas y En tiende a cero cuando n tiende a infinito. Lo anterior es consecuencia de que el cero de energ´ıa potencial se ha escogido como el estado en que el
electr´on y el n´
ucleo se encuentran infinitamente separados, de manera que la energ´ıa
en cualquier estado ligado es menorque en el estado separado. Las energ´ıas en
orden creciente corresponden al orden creciente del n´
umero cu´antico n; los En son
los niveles de energ´ıa.

0.1

UNIDADES ATOMICAS

Es conveniente agrupar las constantes fundamentales m, e y ¯h en las ecuaciones
ec. 4, 5 y 7 y definir nuevas unidades m´as adecuadas a los c´alculos at´omicos. Para
el ´atomo de hidr´ogeno (Z = 1) en el...