Modelo de incercia y péndulo físico

Momento de Inercia y Péndulo Físico
Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

RESUMEN – Se estudia el concepto fundamental de la dinámica del cuerpo rígido, como es el momento de inercia. Se halla, tanto su valor experimental como teórico para una placa con formas geométricas regulares dada, y se comparan estos dos resultados. También se realizaron los cálculos para encontrar elmomentum de la figura, el centro de masa y además se hicieron algunos ejercicios para el entendimiento del tema en cuestión.

PALABRAS CLAVES – Cuerpo rígido, dinámica, momentum, centro de masa.



FUNDAMENTO TEÓRICO
El momento de inercia, o segundo momento, se entiende como la facilidad que tiene un cuerpo rígido para rotar alrededor de un eje. La geometría de un cuerpo rígido y laforma como se distribuye la masa, son conceptos fundamentales que determinan completamente el momento de inercia del sólido rígido.

Consideremos una placa con densidad de masa uniforme que gira alrededor del eje z.


x
z
o
y

Ahora consideremos un diferencial de masa . Se define el momento de inercia, para dicho diferencial de masa, con respecto al eje z y que denotamos por como(1)

y
x
z
r

Donde es la distancia que hay entre el eje de rotación y el . Pero , teniéndose entonces que

(2)

El momento de inercia total alrededor del eje Z se obtiene sumando todas las contribuciones del tipo (2)

(3)

Observación: La primera de las integrales corresponde al momento de inercia respecto del eje y, mientras que lasegunda corresponde al momento de inercia respecto del eje x.

Si se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje que pasa por su centro de masa, se puede encontrar el momento de inercia de dicho cuerpo respecto a cualquier otro eje paralelo a éste. Esto es posible a través del denominado teorema de Steiner, el cual se expresa como sigue:(4)
Donde es la masa del sólido y es la distancia entre los ejes paralelos.
ACTIVIDAD TEÓRICA
1.) Demostraciones de los momentos de inercia.
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Fig. 1 . Momento de inercia de una varilla  
Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas
La masa dm delelemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+ dx es

El momento de inercia de la varilla es

=ML-L/2L/2x2dx
=ML(L/2)33+(L/2)33

=MLL324+L324

=MLL324+L324

=ML2L324
=ML212

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Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.
* Momento de inercia de unanillo
Por la definición de momento de inercia:

Como R, distancia del dm al eje, es constante, sale de la integral y por tanto,

Fig. 2 . Momento de inercia de una varilla  
* Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Fig. 3 . Momento deinercia de un disco  

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2px y anchura dx, cuya masa es

El momento de inercia del disco es

0R2MR2x3dx
=2MR20Rx3dx
=2MR2R44
=MR22

* Momento de inercia de un cilindro
Vamos a calcular elmomento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.

Fig. 4 . Momento de inercia de un cilindro 
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro e...