Modelo De Regresion Linal

El modelo de regresión lineal simple / 1

ESTADÍSTICA E INTR. A LA ECONOMETRÍA
Capítulo 16

EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Prof. María Dolores González Galán

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ÍNDICE

1. El modelo de regresión lineal simple
2. El estimador de mínimos cuadrados ordinarios. Propiedades
3. Medidas de bondad de ajuste
4. Supuesto de Normalidad. Elestimador máximo verosímil
5. Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis
6. Validación del modelo
7. Bibliografía

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1. El modelo de regresión lineal simple
En este capítulo estudiaremos como construir un modelo para
representar la relación o dependencia de una variable respecto a
otras.
Centrándonos en el estudio de la posible relación entreuna
variable que consideramos como respuesta a algún fenómeno o
variable dependiente Y, y un conjunto de k variables explicativas o
independientes X1,X2,...,Xn, podemos encontrarnos con las siguientes
situaciones:
1.
Variables que están relacionadas de forma exacta o
funcional, de modo que el conocimiento de una variable
determina totalmente el valor de la otra: Y = g ( X 1 , X 2 ,K, X k )2.

3.

En el otro extremo se situarían las variables
independientes, cuando el conocimiento de una variable no
aporta información sobre el valor de la otra.
Como caso intermedio, relaciones estadísticas o
estocásticas, cuando el conocimiento de una variable
permite predecir en mayor o menor grado el valor de la
otra,
lo
cual
podemos
expresar
de
la
forma: Y = g ( X 1 , X 2 ,K, Xk ) + ε , donde g representa la función

de regresión y ε es una perturbación que recoge el error de
observación.
El análisis de la regresión aborda este último tipo de relaciones,
donde la variable dependiente Y presenta una variabilidad
“intrínseca” o aleatoriedad que no puede explicarse por completo,
independientemente del número de variables explicativas que
utilicemos. Siconsideramos la inclusión de una variable explicativa,
el estudio se conoce como análisis de regresión simple; mientras que
si estamos estudiando la dependencia de una variable en más de una
variable explicativa, recibe el nombre de análisis de regresión
múltiple. En este capítulo nos centraremos en el estudio de los
modelos de regresión simple.

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Paracomprender mejor el funcionamiento de estos modelos
supongamos que disponemos, para una población hipotética, por
ejemplo, un centro escolar, de la distribución de las estaturas de los
niños, medida a determinadas edades. Como es natural, no todos los
niños de la misma edad tienen la misma estatura; pero, en promedio,
ésta aumenta con la edad (desde luego hasta una determinada edad).
Si queremoshacer una predicción de la estatura de un niño
seleccionado al azar de dicha población y no disponemos de su edad,
una posible estimación sería la estatura media de los niños del
centro. Sin embargo, si conocemos su edad, nuestra estimación
mejoraría notablemente tomando como estimación la estatura media
de todos los niños de esa edad, es decir, la media de la condicionada.
En definitiva, elobjetivo del análisis de la regresión consiste en
estimar o predecir el valor medio poblacional de la variable
dependiente, con base en los valores fijos o conocidos de la variable
explicativa, lo cual podemos expresar a través de la ecuación:
E (Y / X = xi ) = g ( xi )
(1)
Dicha ecuación se conoce como función de regresión poblacional
(FRP), donde E(Y/X=xi) representa el valor esperado dela variable
aleatoria Y cuando la variable explicativa X toma el valor específico
xi, y g(xi) es una función de la variable explicativa X. La FRP muestra
cómo el valor medio de Y varía con las X.
Ahora bien, ¿qué forma toma la función g? En principio, existen
multitud de formas funcionales disponibles para describir dicha
relación. Parece sensato comenzar asumiendo una estructura lo más...