Modelo Malthus

Modelo De Malthus
La expresión crecimiento exponencial se aplica a una magnitud M tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo que implica que crece muy rápidamente en el tiempo de acuerdo con la ecuación:

Donde:
Mt es valor de la magnitud en el instante t > 0;
M0 es el valor inicial de la variable, valor en t = 0, cuando empezamos a medirla;
r es la llamada tasa decrecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre t = 0 y t > 0;
e = 2,718281828459...
La expresión se refiere al crecimiento de una función exponencial de la forma con . Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la última ecuación a = 2 y x un valor entero. Por ejemplo, si x = 4, entonces y = 2x2x2x2 = 16. Si x = 10 entonces y = 1.024. Yasí sucesivamente.
Catástrofe malthusiana
La catástrofe malthusiana debe su nombre al demógrafo y economista político conservador Thomas Robert Malthus y la visión pesimista del crecimiento de población expuesta en su obra Ensayo sobre el principio de la población. Las tesis de Malthus aunque desajustadas a los hechos, tuvieron gran influencia política. Malthus llegó a afirmar que el crecimiento dela población libre de contenciones era un crecimiento exponencial, mientras que la producción de alimentos según su argumento era un crecimiento lineal. Puesto que la tasa de crecimiento de la población era más acelerada que la de alimentos a partir de un cierto umbral de población, Malthus pronosticó que habría una escasez de alimentos y una gran hambruna hacia mediados del siglo XIX. La granhambruna predicha por Malthus jamás se produjo mostrando que los presupuestos lógicos de Malthus eran simplistas y en ocasiones hasta erróneos.
Expresado en ecuaciones diferenciales el argumento de Malthus era el siguiente. Si P(t) es la población en el año t y A(t) la cantidad total de alimentos las hipótesis de crecimiento lineal y exponencial son:
(2a, 2b)
La solución de las dos ecuacionesanteriores lleva a que la cantidad de alimento por persona viene dada por:

Doinde P0 es la población inicial y A0 es la cantidad inicial de alimentos. Supongamos ahora que la cantidad mínima de alimentos o ingesta mínima por persona es amin, entonces si las hipótesis de Malthus hubieran sido correctas para todo instante del tiempo, la cantidad de alimentos por persona se habría reducido hasta serinferior a la cantidad mínima de alimentos por persona en el instante de la catástrofe malthusiana tCM:
(*)
Puede verse que para cualesquiera valores positivos de r, k, A0, P0 y amin existe un instante del tiempo dado por tCM en el que se produce indefectiblemente la catástrofe malthusiana, si las ecuaciones de evolución (2a, 2b) no cambian en todo el proceso. La solución de (*) viene dadamediante la función W de Lambert:

Curva logística
La curva logística es un refinamiento del crecimiento exponencial. Cuando una magnitud crece en un sistema finito, a partir de cierto punto el tamaño finito del sistema limita el crecimiento de la magnitud al no existir recursos abundantes suficientes para seguir permitiendo el crecimiento exponencial. Un caso típico son los ecosistemas biológicosdonde ciertas especies basan su supervivencia en altas tasas de reproducción o natalidad(estrategia r). Inicialmente cuando existe un pequeño número de individuos el crecimiento es exponencial, pero a partir de cierto momento el hecho de que los recursos alimentarios del territorio no sean infinitos "satura" el crecimiento. En esos casos el crecimiento de la población P con el tiempo (t) respondea la siguiente ecuación diferencial:
(3)
Donde la constante define la tasa de crecimiento y es la capacidad, que está asociada a la saturación del sistema. Cuando P es pequeña esta ecuación se parece a la ecuación (1) del crecimiento exponencial, pero para valores no despreciables frente al valor de K el comportamietno cambia. La solución general a la ecuación (3) es la función logística,...