Modelos Continuos

MODELOS CONTINUOS
Objetivo
Introducir las distribuciones distribuciones continuas
mas importantes: las distribuciones uniforme,
exponencial y normal. Ilustrar el uso de
tablas de probabilidadesde la distribuci´on normal.
Comentar el teorema central del lımite y
el uso de la distribucion normal como aproximacion.

La distribuci´on uniforme
Supongamos que una variable X puede tomarvalores al azar en un rango (a, b). En este caso,
se dice que X tiene una distribución uniforme
entre a y b y se escribe
X ∼ U(a, b).
En este caso, la probabilidad de que X caiga
en cualquier zona esla misma, y entonces la
funci´on de densidad es constante.
✲
✻
a b
1
b−a
0
f(x)
x
360
La función de distribución
Si X ∼ U(a, b), luego, si a < x ≤ b,
F(x) = P(X ≤ x)
=
_ x
a
1
b − adu
=
_
u
b − a
_x
a
=
x − a
b − a
✲
✻
a b
1
0
F(x)
x
361
La media y desviación tıpica
Teorema 17 Sea X ∼ U(a, b). Luego,
E[X] =
a+b
2
V [X] =
(b − a)2
12
DT[X] =
b − a√12
Demostración
E[X] =
_ b
a
1
b − a × x dx
=
_
x2
2(b − a)
_b
a
=
b2 − a2
2(b − a)
=
a+b
2
362
E
_
X2
_
=
_ b
a
x2
b − a
dx
=
_
x3
3(b − a)
_b
a
=
b3 − a3
3(b − a)=
b2 +ab+a2
3
V [X] = E
_
X2
_
− E[X]2
=
b2 +ab+a2
3 −
_
a+b
2
2
=
b2 +ab+a2
3 −
a2 +2ab+b2
4
=
a2 − 2ab+b2
12
=
(b − a)2
12
_
363
Ejemplo 169 Juego con una rueda defortuna
como en la ilustración.
✒
gano
pierdo
?Cual es la probabilidad de que gane?
Sea X el Angulo a la vertical de la flecha. Luego
X ∼ U(0, 360o). La probabilidad de que gane
es
P(X ≤ 90) =90 − 0
360 − 0
=
1
4
364
La distribución exponencial
Anteriormente estudiamos la distribución Poisson
X ∼ P(λ) como modelo para el numero de
sucesos raros, X, en una unidad del tiempo.
Ahora,supongamos que queremos estudiar la
distribución del tiempo Y entre un suceso y el
siguiente.
En este caso, la distribución de Y es una distribución
exponencial con parámetro λ.
Definición...