Modelos Matematicos

2. METODOS Y OBTENCION DE MODELOS MATEMATICOS
Metodología:
a) Descomponer. Descomponer el sistema en subsistemas (elementos) más simples y modelarlos por separado.
b) Relacionar. Establecer las ecuaciones matemáticas que relacionan cada subsistema, se deben establecer las relaciones de flujo y esfuerzo entre los elementos.
c) Interconectar.
1) Unir únicamente los modelos matemáticosdiferenciales de cada subsistema obtenido al descomponer mediante las ecuaciones de relación obtenidas al relacionar, es decir, se deben sustituir únicamente las expresiones diferenciales de descomposición en las ecuaciones de relación.
2) Elegir las variables de estado (según el número de almacenadores será el número de variables de estado), siendo estas las variables mediante las cuales losalmacenadores almacenan energía en forma diferencial. De manera general para un sistema mecánico serán las velocidades en masas y fuerzas en resortes, así como las corrientes en las inductancias y voltajes en los capacitores de un sistema eléctrico. Es común hacer un cambio de variables y nombrar a las variables de estado como x1, x2, x3, ... xn.
3) Obtener las derivadas temporales de losestados.
4) Sustituir los estados y sus derivadas en las ecuaciones de descomposición de tal manera que las ecuaciones resultantes sean únicamente función de los estados, derivadas de estado, constantes y entradas.
5) Hacer los despejes y sustituciones necesarias entre las ecuaciones del punto anterior hasta obtener una ecuación para cada derivada de estado que sea función únicamente de losestados, constantes, entradas y una sola derivada de estado.
6) Despejar las derivadas de estado de cada ecuación en el punto pasado.
7) Expresar las ecuaciones anteriores en la forma matricial 2.1 de la ecuación de estado.
8) Obtener la ecuación de salida 2.2 de acuerdo a la salida deseada del sistema (en el caso que se indique).

2.1 MÉTODO CON ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALESSon ecuaciones que poseen integrales y derivadas de una variable, por eso el nombre.
Hay muchos métodos de resolucion, entre los mas usados estan, la transformada de Laplace, metodos numericos (para computadora, en matlab) y metodos analicos (para resolver a mano).
Un ejemplo comúnmente utilizado como una ecuación integro-diferencial es un circuito RLC.



2.2 LINEALIZACION DE UNMODELO MATEMATICO NO LINEAL
Una gran parte de la teoría desarrollada para el diseño de sistemas de control emplea modelos matemáticos lineales del proceso que se desea controlar a lazo cerrado. Sin embargo, la inmensa mayoría de sistemas en procesos exhibe conducta no lineal.

Para poder linealizarlos se utiliza la serie de Taylor.
Una ecuación es no lineal cuando alguna de susvariables esta elevada a una potencia.
Una ecuación es lineal cuando todas sus variables están elevadas a la primera potencia.

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos delvalor de la función y sus derivadas en otro punto.
  Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir la aproximación.
 

o expresado de otra forma
 

2.3 METODO CON VARIABLES DE ESTADOUna variable de estado de un sistema dinámico es una señal del sistema, es decir, una magnitud medible del mismo: Temperatura, posición, velocidad, capacidad, tensión. Éstas podrán ser:
Entradas: Son las causantes de la evolución del sistema (en sistemas no autónomos).
Salidas: Son las que interesa medir y analizar para controlar al sistema.
Internas: El resto de las infinitas...