Modelos Matematicos

M O DE L O S AL E AT O RI O S Y P RO BABI L I DADE S
“Los científicos se esfuerzas por hacer posible lo
imposible, los políticos por hacer lo posible imposible”
Bertrand Russell
“Los estadísticos miden la relación entre lo posible y lo
imposible”
MO V E

Un Modelo Matemático es un patrón teórico ó experimental que permite
interpretar mediante métodos matemáticos fenómenos reales oproblemas
técnicos para hacer inferencia y tomar decisiones.
Los modelos matemáticos son de dos clases:
a) Determinísticos: cuando se tiene plena certeza acerca del funcionamiento y
los resultados del problema.
b) Aleatorios o Estocásticos: cuando sólo se tiene certeza parcial acerca del
funcionamiento y se conocen los resultados probables del modelo.
Un modelo matemático debe ser simple einvolucrar las variables que lo hacen
completo.
Las leyes de la dinámica clásica de partículas pueden considerarse un modelo
matemático determinístico.
El modelo de regresión lineal estadístico es en esencia un modelo matemático
aleatorio.
El modelo de la teoría de probabilidad que veremos mas adelante es justamente el
modelo general de los experimentos aleatorios.
Experimento aleatorio
Esaquel cuyo modelo matemático es de carácter estocástico.
Ejemplos
1)

Observar el lanzamiento de una moneda.

2)

Contar la caída de gotas de lluvia en 2 placas.

2

3)

Observar el lanzamiento de un dado hexagonal.

4)

Medir la duración en horas de una bombilla.

5)

Medir la duración de un equipo electrónico.

6)

Contar el número de vehículos que pasan por un cruce enlapsos de un
minuto
Contar el número de artículos defectuosos en lotes de 50 unidades.

7)

Características de un Experimento Aleatorio
a)

Que sea repetible en igualdad de condiciones.

b)

Que se pueda describir el conjunto de todos los resultados posibles aunque
no se pueda asegurar un resultado en particular.
Si se repite un número grande de veces debe aparecer cierta regularidadc)

estadística.
Espacio Muestral S
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. A los
ejemplos previos corresponden los siguientes espacios muestrales en notación de
conjuntos:

S1
S2
S3
S4
S6

= {cara, sello } = {c , s } = {0 , 1 }
= { g1 , s1, s2 , g2 , g3 ...} = {01 , 12 , 13 , 0 4 , 03 ... }
= {1, 11, 111, 1111, 11111, 111111 } = {1, 2 , 3 ,4 , 5 , 6 }
S 5 = {t : t ≥ 0 }
= {t : 1000 ≤ t ≤ 3000 }
={
0,1,2,...}= N
S7 = {
0,1,2,..., 50}

Suceso o Evento
Es cualquier subconjunto de resultados de un espacio muestral S. Los siguientes
son eventos asociados a los espacios muestrales previos

A4 =

{t :

1000 ≤ t ≤ 1200 } ⊂ S 4

B3 =

{ 2, 4 , 6 }

⊂ S3

D6 = { ruzan menos de tres vehículos en un minuto}= { ,1,2}
c0
3

E7 = { l menos hubo 48 artículos no defectuoso s}= { ,1,2}
A
0
Observe que el símbolo ⊂ tiene el mismo significado de inclusión de conjuntos, es
decir, B3 es subconjunto de S3 y entre sucesos significa que siempre que ocurre B3
necesariamente ocurre S3.
Álgebra de sucesos de probabilidad
Algunos conceptos de teoría de conjuntos extendidos a sucesos de probabilidad
se debenrecordar
La unión de dos sucesos A y B en un espacio S se define como:
A ∪ B = {x: x ∈ A

ó x ∈ B}, el símbolo ∈ significa que el elemento x pertenece

al conjunto correspondiente e indica que el resultado puntual x ha ocurrido.
A ∪ B significa que ocurre A, ocurre B u ocurren A y B.
La intersección de dos sucesos A y B en un espacio S se define como:
A ∩ B = AB = {x: x ∈ A

y x ∈ B},

A ∩ Bsignifica que ocurren A y B conjunta o simultáneamente.
Las operaciones de unión e intersección gozan de las propiedades de clausura,
idempotencia, conmutación, asociación y se vinculan mediante la propiedad
distributiva de la intersección respecto a la unión, es decir, A(B∪C)=AB ∪ AC.
¿Es igual A ∪(BC) a (A ∪ B)∩(A ∪ C)?
El complemento del suceso A en el espacio S se define como la...