Modelos Matematicos

Tema 1
´
MODELOS MATEMATICOS

1.1.

Introducci´n
o

Una de las herramientas m´s interesantes que actualmente disponemos para analizar
a
y predecir el comportamiento de un sistema biol´gico es la construcci´n y posterior
o
o
simulaci´n de un modelo matem´tico. Son muchas las razones que justifican la edad
o
a
de oro que hoy en d´ vive la modelizaci´n matem´tica, pero debemos dedestacar,
ıa
o
a
en primer lugar, el mejor conocimiento de los procesos biol´gicos, y en segundo luo
gar, el espectacular avance de los ordenadores y el software matem´tico.
a
Puesto que este material es una introducci´n al estudio de los Modelos Matem´ticos
o
a
en Biolog´ es conveniente comenzar esta primera secci´n precisando lo que entenıa,
o
demos por un modelo matem´tico.
a
Confrecuencia la palabra modelo tiene distintas interpretaciones, nosotros la aplicaremos en el sentido dado por el profesor Sixto R´ , ([59]): “un modelo es un
ıos
objeto, concepto o conjunto de relaciones, que se utiliza para representar y estudiar
de forma simple y comprensible una porci´n de la realidad emp´
o
ırica”.
Por tanto, un modelo es la representaci´n de un proceso. Si en un fen´menobiol´gio
o
o
co se conocen los procesos internos y las relaciones entre ellos, entonces es posible
conocer las ecuaciones (que depender´n de si el modelo es discreto o continuo) que
a
lo describan y a las que llamaremos un modelo matem´tico del fen´meno biol´gico.
a
o
o
Como es natural, de un mismo fen´meno biol´gico se puede construir muchos modeo
o
los matem´ticos diferentes entre s´cuyo grado de eficacia depender´ del conocia
ı,
a
miento de los procesos que se investigan y de las posibilidades de experimentaci´n.
o
Generalmente los m´todos que se utilizan para estudiar un fen´meno biol´gico son
e
o
o
la construcci´n de un modelo matem´tico o bien el uso del m´todo cient´
o
a
e
ıfico, el cual

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Tema 1 Modelos matem´ticos
a

est´ basado en:
a
1. Laobservaci´n y en la descripci´n.
o
o
2. El desarrollo de hip´tesis o explicaciones.
o
3. La comprobaci´n por experimentaci´n de dichas hip´tesis.
o
o
o
4. La aplicaci´n de estos conocimientos en la resoluci´n de problemas similares.
o
o
Supongamos un problema concreto, como por ejemplo, determinar la cantidad de
conejos que existir´n dentro de un a˜o conocida la poblaci´n actual, enun entorno
a
n
o
que presenta cierta estabilidad. Ante esta situaci´n, podemos recurrir a observao
ciones anteriores e intentar dar una estimaci´n del dato pedido. Es decir, podemos
o
hacer uso de una herramienta estad´
ıstica y proponer un resultado m´s o menos acera
tado seg´n la complejidad de la t´cnica empleada. Pero si el problema que abordamos
u
e
es tal, que apenas disponemos dedatos actuales o pasados, debemos de elaborar un
modelo que sea capaz de dar soluci´n al problema planteado y adem´s nos aporte
o
a
informaci´n, de tal manera que nuestra actuaci´n en el futuro sea la m´s acertada.
o
o
a
Esta ultima situaci´n es la que se presenta con m´s frecuencia cuando se estudia un
´
o
a
fen´meno biol´gico.
o
o
Es evidente, que una de las ventajas del uso delos modelos matem´ticos es su bajo
a
costo, si lo comparamos con los modelos f´
ısicos. Por ejemplo, es mucho m´s barato y
a
r´pido elaborar un modelo matem´tico que describa la evoluci´n de la poblaci´n de
a
a
o
o
conejos que empezar con un determinado n´mero de conejos y esperar cierto tiempo
u
para poder experimentar con ellos.

1.2.

Elaboraci´n de modelos matem´ticos
o
aLos modelos y la realidad est´n relacionados a trav´s de dos procesos: la abstraa
e
cci´n y la interpretaci´n. El primero de ellos nos obliga a encontrar cuales son los
o
o
elementos m´s importantes del problema y cuales son los accesorios. Para saber si
a
un elemento es o no importante tendremos que ver su efecto relativo en la evoluci´n
o
del sistema. En cuanto a la interpretaci´n,...