Moivre

Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

Entender y utilizar el Teorema de Moivre para encontrar las n-raíces de un número complejo z
(Cos Φ + iSen Φ) n = Cos nΦ + i Sen nΦ
Para encontrar las raíces :
(Cos Φ + i Sen Φ) 1/n = Cos (nΦ)/n + i Sen (nΦ)/n
 Entender la Demostración:
Cos  Φ = Cos (Φ + 2 ∏ k )Utilizando la Fórmula de suma y Resta de Ángulos
Cos (Φ + α) = Cos Φ Cos α – Sen Φ Sen α
Cuando k = 0
Cos (Φ + 2 ∏ k )= Cos Φ Cos 2 ∏ k – Sen Φ Sen 2 ∏ k
Cos (Φ + 2 ∏ k )= Cos Φ Cos 2 ∏ 0- Sen Φ Sen2 ∏ 0
Cos (Φ + 2 ∏ k )= Cos Φ (1) – Sen Φ Sen 2 ∏ k
Cos (Φ + 2 ∏ k )= Cos Φ
Queda demostrado que para cualquier numero de k, se cumple.Encontrar cada una de las raíces indicadas y localizarlas gráficamente
(- 1 + i ) 1/3
z = -1 + i
a) modulo de z
|z| =√2
b) argumento de z
Φ = 3∏ / 4
c) Representación polar
- 1 + i = √2 ( Cos 3∏ / 4 + i Sen 3∏ / 4 )
d)Representado el ángulo por Φ + 2 ∏ k
- 1 + i = √2 [Cos (3∏ / 4+ 2∏k) + i Sen (3∏ /4+ 2∏k) ]
e)Aplicando el Teorema de Moivre para la raiz cúbica
- 1 + i = 21/6 [Cos (3∏ / 4+ 2∏k)/3 + iSen (3∏ /4+ 2∏k)/3 ]
f) Encontrando las 3 raíces tenemos que:
k= 0, z1= 21/6 [Cos (∏/4) + i Sen (∏/4) ]
k= 1, z1= 21/6 [Cos (11∏/12) + i Sen (11∏/12) ]
k= 2, z1= 21/6[Cos (19∏/12) + i Sen (19∏/12) ]
g)Representar la gráfica de las raíces del numero complejo. Gráfica realizada en Octave de las tres raíces del número complejo -1 + i

Conclusiones,
Considerandok = 3, 4, … así como los valores negativos -1, -2, …, obtendremos repeticiones de las tres valores de z. Por lo tanto, estas son las únicas soluciones o raíces de la ecuación dada.Estas tres raíces se llaman las raíces cubicas de -1 + i, y se denota por (- 1 + i ) 1/3 .
En general, a1/n representa las raíces n-ésimas de a y existen n de tales...