Teorema De De Moivre

Teorema De De Moivre
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Teorema De Moivre, potencias y extracción raíces de a un número complejo
La multiplicación de dos números complejos se realiza mediante la operaciónde multiplicación en los respectivos módulos, esto es r y realizando la operación de adición en el componente angular, este es . Si en algún momento deseas encontrar el cuadrado de un número complejo,en otras palabras, realizar la multiplicación de dos números complejos, los cuales son de hecho iguales, entonces obtendríamos algo como:
r x r = r2
Esto es, por la multiplicación de los módulosobtenemos r2 y por la suma de los dos componentes angulares obtenemos .
Sin embargo, ahora escribimos el número complejo en su forma polar y realizamos la operación de multiplicación, entonces obtendríamosalgo así,
[r (cos + i sin )] x [r (cos + i sin )] = r2 (cos 2 + i sin 2 )
De la misma forma, al aumentar el número complejo al exponente tres, tendríamos que realizar la operación de multiplicaciónen los números complejos, los cuales son iguales. Esto es obtenemos términos como los siguientes,
r x r x r = r3
Y para la forma polar, los términos serían,
[r (cos + i sin )] x [r (cos + i sin )] x [r(cos + i sin )] = r3 (cos 3 + i sin 3 )
Y esto se sigue repitiendo. Todo lo que podemos decir es que existe un patrón fijo el cual se puede notarse con claridad por los ejemplos anteriores, al elevarun numero complejo a algunos exponentes, estamos de hecho elevando el término módulo de ese exponente y el componente angular es, incluso, multiplicado por el número de ese exponente. En forma brevepodemos concluir que, [r (cos + i sin )]n = [rn (cos n + i sin n )]
Llamamos a este teorema, el teorema De Moivre. Este teorema es usualmente utilizado para la determinación de las potencias decualquier número complejo, ya que permite de manera fácil cumplir con el propósito sin la necesidad de hacer ningún tipo de cálculo complejo.
Si podemos cuadratizar un número complejo, encontrar su cubo o...