Formula de euler, de de moivre y fasores

Fórmula de Euler.

La identidad:
eiθ=cosθ+isinθ ec.1

Llamada fórmula de Euler nos permite escribir la ecuación:

z=reiθ ec.2

Esta fórmula, a la vez, nos lleva a las siguientes reglas para el cálculo de productos, cocientes, potencia y raíces de números complejos, así como a diagramas de Argand. Como cosθ+isinθ es lo que obtenemos de la ec.2al considerar r= 1, es posible decir que eiθ se representa mediante un vector unitario que forma un ángulo θ con la parte positiva del eje x como se muestra en la [figura 1]

eiθ=cosθ+isin\theta
eiθ=cosθ+isinθ
R=1

θ=argz
θ
(cosθ,sinθ)
O
O
eiθ=cosθ+isin\theta
eiθ=cosθ+isinθ
R=1

θ=argz
θ
(cosθ,sinθ)
O
O

(a) (b)

[Figura 1] Diagrama de Argand para eiθ=cosθ+isinθ
(a)Como un vector
(b) Como un punto

Ejemplo:
Para multiplicar dos números complejos, multiplicamos sus valores absolutos y sumamos sus ángulos. Sean:
z1=r1eiθ1, z2=r2eiθ2,
De manera que:
z1=r1, argz1=θ1; z2=r2, argz2=θ2.

Entonces,
z1z2=r1eie1* r2eiθ2=r1r2eiθ1+θ2

Y en consecuencia,

z1z2=r1r2=z1*z2
argz1z2=θ1+θ2=argz1+argz2

Por lotanto, el producto de dos números complejos se representa mediante un vector cuya longitud es es el producto de las longitudes de los factores cuyo argumento es la suma de sus argumentos [Figura 2]. En particular, a partir de la ecuación anterior vemos que un vector puede girar en sentido contrario a las manecillas del reloj un ángulo θ multiplicándolo por eiθ. La multiplicación por i provoca un girode 90° , por -1 giro de 180°, por -i un giro de 270°, etcétera.

y
x
r1r2
θ1
z2
z1
r1
r2
z1z2
O

θ1
y
x
r1r2
θ1
z2
z1
r1
r2
z1z2
O

θ1

θ2
θ2

[Figura 2] Cuando se multiplican z1 y z2, z1z2=r1*r2 yargz1z2=θ1+θ2

Teorema de De Moivre

La fórmula de De Moivre se denomina de esta forma debido al matemático francés Abraham de Moivre, quien afirma que paracualquier número real, para cualquier número complejo y también para cualquier entero n, se verifica lo siguiente:

cosθ +i sinθn=cos(nθ)+isin(nθ) ec.3

Esta fórmula es de suma importancia ya que conecta a los números complejos con la trigonometría. Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación de De Moivre mediante el teorema del binomio y la reducimos a la forma a+ib,obtendremos fórmulas para cosnθ y sinnθ como polinomios de grados n en cosθ y sinθ

Ejemplo:

Si n=3 en la ec. 3, tenemos:

cosθ+isinθn=cos3θ+isin3θ

El lado izquierdo de esta ecuación se desarrolla como:

cos3θ+3icos2θsinθ-3cosθsin2θ-isin3θ

La parte real de la expresión anterior debe de ser igual a cos3θ y la parte imaginaria debe ser igual a sin3θ. Por lo tanto,cos3θ=cos3θ-3cosθsin2θ,
sin3θ=3cos2θsinθ-sin3θ.

Esta fórmula puede también ser utilizada para hallar n-ésimas raíces de z. Si z=reiθ es un número complejo distinto de cero y n es un entero positivo, entonces hay precisamente n números complejos distintos w0,w1, …, wn-1, que son raíces n-ésimas de z. Para comprender por qué, sea w= ρeiα una n-ésima raíz de z=ρeiθ, por lo que:

wn=z
O
ρneinα=reiθ.
Entonces,
ρ=nrEs la n-ésima raíz real positiva de r. En cuanto al argumento, aunque no podemos decir que nα y θ deben ser iguales, si es posible afirmar que difieren en un múltiplo entero de 2π. Esto es,

nα=θ+2kπ, k=0, ±1, ±2, …
Por consiguiente,
a=θn+k2πn.

Por lo tanto, todas las n-ésimas raíces de z=reiθ están dadas por:

nreiθ=nrexpiθn+k2πn, k=0, ±1, ±2, …
Parecieraque hay una infinidad de respuestas distintas correspondientes a la infinidad de valores posibles de k, pero k=n+m da la misma respuesta que k=m en la ecuación anterior. Así solo necesitamos considerar n valores consecutivos de k para poder obtener todas las n-ésimas raíces de z. Por conveniencia, tomamos:

k=0, 1, 2, …, n-1.

O
r
r13
2π3
θ3
θ
z=reiθ
w2
w1
w0
2π3
2π3
x
y
O
r...