Momento de Inercia
Páginas: 10 (2444 palabras)
Publicado: 18 de junio de 2014
SEGUNDO MOMENTO O MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA.
Por ejemplo, considérese una viga de sección transversal uniforme la cual está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones está en flexión pura y en la mecánica de materiales se demuestra que en las fuerzas internas en cualquiersección de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área y un eje que pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje representado por x como en la figura 9.1, se conoce como el eje neutro. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensión;sobre el propio eje neutro de las fuerzas son iguales a cero.
La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales F que actúan sobre toda la sección está dada por la fórmula
La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la sección con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la secciónestá localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la sección se obtiene:
La última integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la sección de la viga con respecto del eje x y serepresenta con Ix. El segundo momento se obtiene multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva. Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia de un área lo proporciona el siguiente problema dehidrostática:
Una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un gran depósito está sumergida bajo agua como muestra la figura. ¿cuál es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cual es el momento de la resultante con respecto de la línea de intersección del plano de la compuerta y la superficie del agua ( eje x)?.
Si la compuertafuera rectangular, la resultante de las fuerzas de presión se podría determinar a partir de la curva de presión tal y como se hizo en los capítulos anteriores. Sin embargo puesto que la compuerta es circular, se debe utilizar un método más general. Representado por y la profundidad de un elemento de área A y por el ángulo gamma al peso específico del agua, la presión en el elemento es p = y y lamagnitud de la fuerza elemental ejercida sobre A es F = pA =yA.
Por lo tanto, la magnitud de la resultante de las fuerzas elementales está dada por:
Y puede obtenerse el primer momento QX = ydA del área de la compuerta con respecto del eje x. El momento Mx de la resultante debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = y2 A de las fuerzas elementales. Integrandosobre el área de la compuerta, se tiene que
Aquí, nuevamente, la integral obtenida representa el segundo momento o momento de inercia, Ix del área conrespecto del eje x.
7.2. Determinación del momento de inercia de una área por integración.
En la sección anterior definimos el momento de segundo orden, o momento de inercia. de una área A con respecto al eje x. De manerasimilar el momento de inercia Iy. del área A con respecto al eje y, se define como:
Ix = ∫ y2 dA Iy = ∫ x2 dA
dIx = y2dA dIy = x2dA
Fuerzas distribuidas: Momentos de inercia
Estas integrales que se conocen como los momentos rectangulares de inercia del área A,...
SEGUNDO MOMENTO O MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA.
Por ejemplo, considérese una viga de sección transversal uniforme la cual está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones está en flexión pura y en la mecánica de materiales se demuestra que en las fuerzas internas en cualquiersección de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área y un eje que pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje representado por x como en la figura 9.1, se conoce como el eje neutro. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensión;sobre el propio eje neutro de las fuerzas son iguales a cero.
La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales F que actúan sobre toda la sección está dada por la fórmula
La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la sección con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la secciónestá localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la sección se obtiene:
La última integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la sección de la viga con respecto del eje x y serepresenta con Ix. El segundo momento se obtiene multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva. Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia de un área lo proporciona el siguiente problema dehidrostática:
Una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un gran depósito está sumergida bajo agua como muestra la figura. ¿cuál es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cual es el momento de la resultante con respecto de la línea de intersección del plano de la compuerta y la superficie del agua ( eje x)?.
Si la compuertafuera rectangular, la resultante de las fuerzas de presión se podría determinar a partir de la curva de presión tal y como se hizo en los capítulos anteriores. Sin embargo puesto que la compuerta es circular, se debe utilizar un método más general. Representado por y la profundidad de un elemento de área A y por el ángulo gamma al peso específico del agua, la presión en el elemento es p = y y lamagnitud de la fuerza elemental ejercida sobre A es F = pA =yA.
Por lo tanto, la magnitud de la resultante de las fuerzas elementales está dada por:
Y puede obtenerse el primer momento QX = ydA del área de la compuerta con respecto del eje x. El momento Mx de la resultante debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = y2 A de las fuerzas elementales. Integrandosobre el área de la compuerta, se tiene que
Aquí, nuevamente, la integral obtenida representa el segundo momento o momento de inercia, Ix del área conrespecto del eje x.
7.2. Determinación del momento de inercia de una área por integración.
En la sección anterior definimos el momento de segundo orden, o momento de inercia. de una área A con respecto al eje x. De manerasimilar el momento de inercia Iy. del área A con respecto al eje y, se define como:
Ix = ∫ y2 dA Iy = ∫ x2 dA
dIx = y2dA dIy = x2dA
Fuerzas distribuidas: Momentos de inercia
Estas integrales que se conocen como los momentos rectangulares de inercia del área A,...
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