Momento de inercia

Momento de Inercia. Teorema de Steiner

1. OBJETIVOS

1. Deterninar la constante de torsi´n de un muelle espiral. o 2. Determinar los momentos de inercia de cuerpos con geometr´ diferentes. ıas3. Comprobar el Teorema de Steiner. 2. MATERIAL

Muelle espiral con soporte. Cuerpos con diferentes geometr´ ıas: esfera, disco, cilindro hueco y cilindro macizo. Disco con perforaciones. Barramet´lica con masas m´viles. e o Cron´metro. o Regla milim´trica. e

´ ´ 3. DESCRIPCION TEORICA

Para determinar el momento de inercia de un s´lido r´ o ıgido extenso se va a estudiar su movimiento derotaci´n respecto de un eje que pasa por su centro de masas. Obtendremos que el periodo de o oscilaci´n depende del momento de inercia del cuerpo, I, y de la constante de torsi´n, D, del muelle o oespiral acoplado al eje de giro. Vamos a plantear la ecuaci´n din´mica de la rotaci´n y a partir de ella deduciremos que el o a o movimiento es un movimiento oscilatorio arm´nico simple. o La variaci´ndel momento angular, L, de un s´lido r´ o o ıgido es igual al momento resultante de las fuerzas externas, M : M= dL dt (1)

ˆ ˆ donde L = Iω es el momento angular del s´lido r´ o ıgido, siendo ω suvelocidad angular e I el ˆ es una tensor de inercia. Si el cuerpo gira alrededor de un eje principal de inercia entonces I magnitud escalar y L y ω son paralelos: L = Iω (2)

d2 Φ dt2 donde Φ es el´ngulo de giro y M es el momento resultante de las fuerzas en la direcci´n del eje de a o giro. Para ´ngulos peque˜os, el muelle espiral tiende a recuperar su posici´n de equilibrio mediante a n o unmomento de fuerza directamente proporcional al ´ngulo girado, Φ, seg´n la Ley de Hooke. Dicho a u momento es igual y de sentido contrario al momento ejercido sobre la espiral: M =I M = −D Φ D es laconstante de torsi´n del muelle espiral. o Por tanto, la ecuaci´n de la din´mica en esta aproximaci´n de ´ngulos peque˜os es o a o a n d2 Φ D + Φ=0 dt2 I que no es m´s que la ecuaci´n del oscilador...