Momento Estatico E Inercia

1. Momento estático o primer momento de área
El momento estático, o primer momento de área, es un concepto similar del momento de una fuerza, es decir, área por distancia. Sin embargo en el caso de las áreas, es preciso fijar el punto a partir del cual se mide la distancia. Dicho punto es aquel en el que puede considerarse concentrada el área y recibe el nombre de centroide.
Cuando se conocela posición del centroide de cada una de las áreas que conforman una sección, se puede determinar el momento estático Q de toda la sección, con respecto a los ejes x y y como:

Qx=Aiyi
Qy=Aixi

Si se desconoce la posición del centroide se puede obtener el momento estático de un área mediante:

Qx=Ay∙dA
Qy=Ax∙dA

Los ejes con respecto a los cuales se obtiene el momento estático, puedenubicarse en cualquier punto del plano, e incluso, puede obtenerse el momento estático respecto a un eje inclinado utilizando el mismo concepto.
Sea, por ejemplo, que se requiere calcular los momentos estáticos de un triángulo con respecto a los ejes x y y

La ecuación de la hipotenusa es:
y=-hbx+h

Por lo que:

dy=-hbdx

dA=x∙dy

Sustituyendo en la fórmula del momento estático conrespecto al eje x:

Qx=Ay∙x∙dy=Ah-hbx∙x∙-hbdx=-h2b0bx∙dx+h2b20bx2∙dx

Qx=-b2h22b+b3h23b2=-b2h6

Y para obtener el momento estático con respecto a y

Qy=Ax22dy=-h2b0bx2∙dx=-b2h6

EJERCICIO 1
Para el área plana mostrada en la figura, determine los primeros momentos con respecto a los ejes x y y

SOLUCIÓN
Componentes del área. El área se obtiene con la suma de un rectángulo, un triángulo y unsemicírculo y después se resta un círculo. Utilizando los ejes coordenados del centroide para cada una de las áreas componentes y luego se introducen en la tabla que aparece en la parte inferior. El área del círculo se indica como negativa puesto que debe restarse de las demás áreas. Nótese que la coordenada y del centroide del triángulo es negativa para los ejes mostrados. Los primeros momentosde las áreas componentes con respecto a los ejes coordenados se calculan y se introducen en la tabla.

Componente | A, mm2 | x, mm | y, mm | xA, mm3 | yA, mm3 |
Rectángulo | 12080=9.6×103 | 60 | 40 | +546×103 | +384×103 |
Triángulo | 1212060=3.6×103 | 40 | -20 | +144×103 | -72×103 |
Semicírculo | 12π602=5.655×103 | 60 | 105.46 | +339.3×103 | +596.4×103 |
Círculo | -π402=-5.027×103 | 60 |80 | -301.6×103 | -402.2×103 |
| A=13.828×103 | | | xA=+757.7×103 | yA=+506.2×103 |

Primeros momentos del área:

Qx= yA=506.2×103 mm3
Qy=xA=757.7×103 mm3

EJERCICIO 2

La figura mostrada está hecha a partir de un pedazo de alambre delgado homogéneo. Determine la ubicación de su centro de gravedad.

SOLUCIÓN
Como la figura está hecha de un alambre homogéneo, su centro de gravedadcoincide con el centroide de la línea correspondiente. Por tanto, se determinará dicho centroide. Si se seleccionan los ejes mostrados, con origen en A, se determinan las coordenadas del centroide de cada segmento de línea y se calculan los primeros momentos con respecto a los ejes coordenados.

Segmento | L, in | x, in | y, in | xL, in2 | yL, in2 |
AB | 24 | 12 | 0 | 288 | 0 |
BC | 26 |12 | 5 | 312 | 130 |
CA | 10 | 0 | 5 | 0 | 50 |
| L=60 | | | xL=600 | yL=180 |

Con la sustitución de los valores obtenidos en la tabla, en las ecuaciones que definen el centroide de una línea compuesta, se obtiene:

XL=xL;
X60 in=600 in2
X=10 in

YL=yL;
Y60 in=180 in2
Y=3 in

EJERCICIO 3

Para el área plana mostrada en la figura, determine los primeros momentos con respecto alos ejes x y y

SOLUCIÓN

| A, in2 | x, in | y, in | xA, in3 | yA, in3 |
1 | π924=63.617 | -493π=-3.8917 | 3.8917 | -243 | 243 |
2 | 12159=67.5 | 5 | 3 | 337.5 | 202.5 |
| 131.1 | | | 94.5 | 445.5 |

Qx= yA=445.5 in3
Qy= xA=94.5 in3

EJERCICIO 4

Para el área plana mostrada en la figura, determine los primeros momentos con respecto a los ejes x y y

SOLUCIÓN

| A, in2...