momento sesgo curtosis
Páginas: 6 (1382 palabras)
Publicado: 29 de septiembre de 2014
MOMENTO,
SESGO
Y
CURTOSIS
PROCESOS
ESTOCÁSTICOS
MOMENTOS
N
∑( x j − A)
xr =
N
r
∑( x
j=1
mr =
N
Momento
de
orden
r
con
respecto
al
origen
A=0
Si
r
=
1
el
primer
momento
corresponde
a
la
media
aritméDca
o
el
origen
A=0
Para
datos
agrupados:
N
∑f
xr =
* ur
j
j
− x)
r
j=1
N
Momento
de
orden
r
con
respecto
a
la
media.
Si
r=2
el
segundo
momento
corresponde
a
la
varianza
j=1
N
Relaciones
entre
momentos:
(respecto
de
la
media
mr
y respecto
de
un
origen
arbitrario
mr’)
'
m2 = m2 − m1'2
'
'
m3 = m3 − 3m1'm2 + 2m1'3
'
'
'
m4 = m4 − 4m1'm3 + 6m1'2 m2 − 3m1'4
m1' = x − A
Datos
no
agrupados:
Ejemplo:
Hallar
los
cuatro
primeros
momentos
del
conjunto
2,
3,
7,
8,
10
N
∑x
El
primer
momento,
o media
aritméDca
es:
x=
j=1
N
j
=
2 + 3+ 7 + 8 +10 30
=
= 6 = m1' = ( x − 0 )
5
5
N
∑x
2
j
2 2 + 32 + 72 + 82 +10 2 226
2
'
=
=
= 45.2 = m2 = ( x − 0 )
El
segundo
momento
es:
x =
N
5
5
j=1
2
N
∑x
3
j
2 3 + 33 + 73 + 83 +10 3 1890
3
'
x =
=
=
= 378 = m3 = ( x − 0 )
N
5
5
j=1
3
El tercer
momento
es:
N
∑x
4
j
2 4 + 34 + 74 + 84 +10 4 16594
4
'
=
=
= 3318.8 = m4 = ( x − 0 )
El
cuarto
momento
es:
x =
N
5
5
4
j=1
Ejemplo:
Hallar
los
cuatro
primeros
momentos
del
conjunto
2,
3,
7,
8,
10
con
respecto
a
la
media
El primer
momento:
(m1
siempre
es
cero
ya
que
es
con
respecto
a
la
media)
N
∑( x
m1 =
− x)
j
(2 − 6) + (3− 6) + ( 7 − 6) + (8 − 6) + (10 − 6) = 0 = 0
=
j=1
N
5
5
El
segundo
momento
es:
(m2
es
la
varianza
s2)
N
∑( x
m2 =
j
− x)
2
2
2
2
2
(2 − 6) +(3− 6) + ( 7 − 6) + (8 − 6) + (10 − 6)
=
j=1
N
2
=
=
5
46
= 9.2
5
−18
= −3.6
5
=
610
= 122
5
El
tercer
momento
es:
N
∑( x j − x )
m3 =
3
j=1
N
3
3
3
3
(2 − 6) + (3− 6) + ( 7 − 6) + (8 − 6) + (10 − 6)
=
3
5
El
cuarto
momento
es:
N
∑( x j − x )
m4 =
j=1
N
4
4
44
4
(2 − 6) + (3− 6) + ( 7 − 6) + (8 − 6) + (10 − 6)
=
5
4
Ejemplo:
usando
los
resultados
de
los
momentos
anteriores
con
respecto
al
origen
cero,
verificar
las
relaciones
entre
momentos
calculados
con
respecto
a
al
media
6 = m1'
'
'
45.2 = m2 378 = m3
'
3318.8 = m4
'm2 = m2 − m1'2 = 45.2 − 6 2 = 9.2
'
'
m3 = m3 − 3m1'm2 + 2m1'3 = 378 − 3(6)(45.2) + 2(6)3 = −3.6
'
'
'
m4 = m4 − 4m1'm3 + 6m1'2 m2 − 3m1'4 = 3318.8 − 4(6)(378) + 6(6)2 (45.2) − 3(6)4 = 122
Datos
agrupados:
Ejemplo:
Hallar
los
cuatro
primeros
momentos
respecto
de
la
media
para
la
distribución
de
alturas
de
los alumnos
mostrada
en
la
siguiente
tabla:
Número
de
estudiantes
5
18
42
27
8
100
Altura
(in)
60
-‐
62
63
-‐
65
66
-‐
68
69
-‐
71
72
-‐
74
Total
(N)
Marca
de
clase
61
64
67=A
70
73...
SESGO
Y
CURTOSIS
PROCESOS
ESTOCÁSTICOS
MOMENTOS
N
∑( x j − A)
xr =
N
r
∑( x
j=1
mr =
N
Momento
de
orden
r
con
respecto
al
origen
A=0
Si
r
=
1
el
primer
momento
corresponde
a
la
media
aritméDca
o
el
origen
A=0
Para
datos
agrupados:
N
∑f
xr =
* ur
j
j
− x)
r
j=1
N
Momento
de
orden
r
con
respecto
a
la
media.
Si
r=2
el
segundo
momento
corresponde
a
la
varianza
j=1
N
Relaciones
entre
momentos:
(respecto
de
la
media
mr
y respecto
de
un
origen
arbitrario
mr’)
'
m2 = m2 − m1'2
'
'
m3 = m3 − 3m1'm2 + 2m1'3
'
'
'
m4 = m4 − 4m1'm3 + 6m1'2 m2 − 3m1'4
m1' = x − A
Datos
no
agrupados:
Ejemplo:
Hallar
los
cuatro
primeros
momentos
del
conjunto
2,
3,
7,
8,
10
N
∑x
El
primer
momento,
o media
aritméDca
es:
x=
j=1
N
j
=
2 + 3+ 7 + 8 +10 30
=
= 6 = m1' = ( x − 0 )
5
5
N
∑x
2
j
2 2 + 32 + 72 + 82 +10 2 226
2
'
=
=
= 45.2 = m2 = ( x − 0 )
El
segundo
momento
es:
x =
N
5
5
j=1
2
N
∑x
3
j
2 3 + 33 + 73 + 83 +10 3 1890
3
'
x =
=
=
= 378 = m3 = ( x − 0 )
N
5
5
j=1
3
El tercer
momento
es:
N
∑x
4
j
2 4 + 34 + 74 + 84 +10 4 16594
4
'
=
=
= 3318.8 = m4 = ( x − 0 )
El
cuarto
momento
es:
x =
N
5
5
4
j=1
Ejemplo:
Hallar
los
cuatro
primeros
momentos
del
conjunto
2,
3,
7,
8,
10
con
respecto
a
la
media
El primer
momento:
(m1
siempre
es
cero
ya
que
es
con
respecto
a
la
media)
N
∑( x
m1 =
− x)
j
(2 − 6) + (3− 6) + ( 7 − 6) + (8 − 6) + (10 − 6) = 0 = 0
=
j=1
N
5
5
El
segundo
momento
es:
(m2
es
la
varianza
s2)
N
∑( x
m2 =
j
− x)
2
2
2
2
2
(2 − 6) +(3− 6) + ( 7 − 6) + (8 − 6) + (10 − 6)
=
j=1
N
2
=
=
5
46
= 9.2
5
−18
= −3.6
5
=
610
= 122
5
El
tercer
momento
es:
N
∑( x j − x )
m3 =
3
j=1
N
3
3
3
3
(2 − 6) + (3− 6) + ( 7 − 6) + (8 − 6) + (10 − 6)
=
3
5
El
cuarto
momento
es:
N
∑( x j − x )
m4 =
j=1
N
4
4
44
4
(2 − 6) + (3− 6) + ( 7 − 6) + (8 − 6) + (10 − 6)
=
5
4
Ejemplo:
usando
los
resultados
de
los
momentos
anteriores
con
respecto
al
origen
cero,
verificar
las
relaciones
entre
momentos
calculados
con
respecto
a
al
media
6 = m1'
'
'
45.2 = m2 378 = m3
'
3318.8 = m4
'm2 = m2 − m1'2 = 45.2 − 6 2 = 9.2
'
'
m3 = m3 − 3m1'm2 + 2m1'3 = 378 − 3(6)(45.2) + 2(6)3 = −3.6
'
'
'
m4 = m4 − 4m1'm3 + 6m1'2 m2 − 3m1'4 = 3318.8 − 4(6)(378) + 6(6)2 (45.2) − 3(6)4 = 122
Datos
agrupados:
Ejemplo:
Hallar
los
cuatro
primeros
momentos
respecto
de
la
media
para
la
distribución
de
alturas
de
los alumnos
mostrada
en
la
siguiente
tabla:
Número
de
estudiantes
5
18
42
27
8
100
Altura
(in)
60
-‐
62
63
-‐
65
66
-‐
68
69
-‐
71
72
-‐
74
Total
(N)
Marca
de
clase
61
64
67=A
70
73...
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