momentos

Momentos, Sesgo y curtosis
Momentos
Si X1, X2, ………,XN son los valores que toma la variable X, se define la cantidad.
…………………………………………….(1)
Como el momento de orden r. El momento de primer orden r = 1 es la media aritmética
El momento de orden r con respecto a la media se define como:
…………………………………….(2)
Si r = 1, m1 = 0. Si r = 2, m2 = s2, la varianza. El momento de orden r con respecto a unpunto cualquiera A se define como:
…………………………………………(3)
Donde d = X – A son las desviaciones de X de A. Si A = 0, (3) se reduce a (1). Por esta razón , (1) se llama también momento de orden r con respecto al origen.
Momentos para Datos Agrupados
Si X1, X2, ………,XN se presentan con frecuencias f1, f2,………., fk, respectivamente, los momentos anteriores son dados por:
………………………(4)
……………………………………….(5)………………………………………….(6)
Donde . Las fórmulas son aplicables al cálculo de momentos de datos agrupados.
Relaciones entre momentos
Entre momentos con respecto a la media mr y momentos con respecto a un punto cualquiera m´r, se dan las siguientes relaciones:


………………………………………………………(7)
Etc. Nótese que
Calculo de Momentos para datos agrupados
Los métodos clave para el cálculo de la media y de la desviación típicadados anteriormente pueden suministrar un método corto en el cálculo de momentos. Este método parte del hecho de que:
( o brevemente, X = A + cu), de modo que de la ecuación (6) se obtiene:
…………………………………………………………………………..(8)
que podemos utilizar para hallar mediante las ecuaciones (7).
Comprobación de Charlier y Corrección Sheppard
La comprobación de Charlier en el cálculo de momentos por el métodoclave utiliza las identidades:
……………………………………(9)
Las correcciones Sheppard para los momentos son como sigue:

Los momentos m1 y m3 no necesitan corrección.
SESGO
El sesgo es el grado de asimetría, o falta de simetría, de una distribución. Si la curva de frecuencias (polígono de frecuencias suavizado) de una distribución tiene una “cola” más larga a la derecha del máximo central que a laizquierda, se dice de la distribución que esta sesgada a la derecha o que tiene sesgo positivo. Si es al contrario, se dice que está sesgada a la izquierda o que tiene sesgo negativo.
En distribuciones sesgadas, la media tiende a situarse con respecto a la moda al mismo lado que la cola más larga. Así, una medida de la simetría nos viene dada por la diferencia (Media- Moda). Esta medida puede adimensionarse, dividiéndola por una medida de dispersión, tal como la desviación típica, llegando a:
……………………………………………………..(8)
Para evitar el empleo de la moda, se puede utilizar la fórmula empírica dada anteriormente, y se tiene:
……………………………………..(9)
Las medidas anteriores se conocen como primero y segundo coeficiente de sesgo de Pearson, respectivamente.
Otras medidas del sesgo dadas en función decuartiles y percentiles son las siguientes:
………………(10)
………………(11)
Una importante medida de este tipo emplea el momento de tercer orden con respecto a la media expresado en forma adimensional y dado por:
………………………………………..…………(12)
Otra medida del sesgo viene dada por Para curvas simétricas, tal como la normal, a3 y b1 son cero.



MOMENTOS
1) Hallar los momentos de (a) primero, (b) segundo, (c)tercero y (d) Cuarto orden de los números 2, 3, 7, 8, 10.
Solución:
(a) Es el momento de primer orden o media aritmética

(b) Es el momento de segundo orden.

(c) Es el momento de tercer orden.

(d)Es el momento de cuarto orden.

2) Demostrar que la suma de las desviaciones de X1, X2, X3,……… XN, de su media es igual a cero
Solución:
Sean , , ……………….. las desviaciones de X1, X2, X3,……… XN, de su media .
Entonces la suma de las desviaciones:



Donde se escribe en lugar de . Se podría, si se desea, suprimir el subíndice j en Xj...