Monografia

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MATEMÁTICAS I

2012-2

FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
DEFINICION Es aquella función cuyo dominio es todo los R y cuyo rango son todos los vectores

El dominio de

definidas las funciones

será:

Ejemplo: Sea la función vectorial , para cada valor de “t” se determina un la cual a su vez define una curva C, y en donde:

Son llamadas ecuaciones paramétricas

Y eldominio de

será:
Ventaja: Las ecuaciones paramétricas permiten tener un modelo dinámico de la función.

:

FUNCIONES VECTORIALES

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VECTORES Vector: es una magnitud cuya determinación exige el conocimiento de: 1. Módulo 2. Dirección 3. Sentido 1. Módulo de un vector: Es la longitud del segmento, denotada:
Z

Y X

Cantidad escalar

2. Direcciónde un vector: Es la correspondiente del vector.
Z

Y X

3. Sentido de un vector: La flecha indica el sentido del vector.
Z Sentido o Y X

Tipos de vectores: Vectores paralelos y de igual sentido

Vectores paralelos y de sentido opuesto

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LÍMITES Y CONTINUIDAD Los conceptos de límite y continuidad de una funciónvectorial se definen en la misma forma en que se hace para funciones escalares Límite de una función vectorial: Definición: se dice que si para cada talque

Teorema: sea

una función vectorial

Continuidad de una función vectorial Definición: sea dice que
1. 2. 3.

una función vectorial y sea t0 un punto de acumulación del dominio f0. Se

es continua en t0 si se cumple: Si cualquiera de estastres condiciones no se cumple, entonces no es continua en t0.

Teorema: sea

la función vectorial:

y sea

entonces es continua en t0 si y solo si cada una de las funciones f1, f2, …, fn son continuas en t 0. Si tenemos 2 funciones vectoriales y con rango y dominio en , entonces:

Funciones vectoriales Función escalar Si Entonces: i. ii. iii. y donde t0 es un punto de acumulación deFUNCIONES VECTORIALES

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Si las funciones

y

son continuas en t0, entonces:

Son también continuas en t0

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Definición: la derivada de una función vectorial y cuya regla de correspondencia es: es otra función vectorial denotada por

si el límite existe Teorema: si es la función vectorial:

Gráficamente:

Y L:Recta Tangente

0

X

Consideremos el vector pasa por los puntos y

; como recta secante de la curva definida por cuando

y que

esta recta secante tiene una posición y su

límite. A esta posición límite se denomina recta tangente a la curva en el punto dirección está dado por el A .

se denomina recta tangente a la curva C y cuya ecuación vectorial es:

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DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Al vector se le denomina el diferencial de la función en t0 y se le denota:

Donde h es incremento Si usamos en vez de h y en vez de

El diferencial será: Luego si para cualquier

INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Sea la función vectorial

Definida en cierto intervalo I, entonces para 2 puntos distintos a y b:Primer teorema fundamental del cálculo: Sea continua sobre I y sea t0 є I

Segundo teorema fundamental del cálculo: Si entonces tiene derivadas continuas sobre un intervalo I,

Nota: Si

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LONGITUD DE ARCO Se sabe que si una curva c en el plano XY está dada por sus ecuaciones paramétricas:

Donde f y g tienen derivadascontinuas sobre el intervalo arco

entonces L es la longitud de

Si

“C”

es

una

curva definida en , definida por y cuyas ecuaciones paramétricas son:

la

función

vectorial

La longitud de arco estará dado por:

MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA A LO LARGO DE UNA CURVA Si una partícula se mueve a lo largo de una curva en el espacio tridimensional de tal manera que su posición está...