Movimiento alrededor de un punto fijo

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MOVIMIENTO ALREDEDOR DE UN PUNTO FIJO

Se considera el movimiento de un cuerpo rígido restringido a girar alrededor de un eje fijo. A continuación se examinara el caso mas general del movimiento de un cuerpo rígido que tiene un punto fijo O.

En primer lugar, se demostrara que el desplazamiento mas general de un cuerpo rígido con un punto fijo O es equivalente a una rotación del cuerpo entorno a un eje que pasa por O. en vez de considerar al cuerpo rígido completo, se puede desprender una esfera del centro O del cuerpo y analizar el cuerpo de la misma. Es claro que el movimiento de la esfera caracteriza por completo el movimiento del cuerpo dado. Puesto que 3 puntos definen la posición de un solidó en el espacio, el centro O y dos puntos A y B sobre la superficie de la esferadefinirán la posición de esta misma y, en consecuencia, la posición del cuerpo. Sea que A1 y B1 caractericen la posición de la esfera en un instante y que A2 y B2 caractericen la posición de un instante posterior (figura 15.31a). Como la esfera es rígida las longitudes de los arcos de mayor círculo A1B1 Y A2B2 deben ser iguales, aunque salvo que este requerimiento, las posiciones de A1, A2, B1, B2 sonarbitrarias. Se pretende demostrar aquí que los puntos A y B pueden trasladar, respectivamente desde A1 y B1 hasta A2 y B2 mediante una sola rotación de la esfera alrededor de un eje.

Por conveniencia, y sin perdida de generalidad se elige el punto B de manera que su posición inicial coincida con la posición inicial de A; de tal modo, B1=A2 (figura 15.31b). Se dibujan los arcos de círculogrande A1A2, A2B2 y los arcos que bisecan, respectivamente, A1A2 y A2B2. Sea C el punto de intersección de estos últimos 2 arcos; se completa la construcción dibujando A1C, A2C Y B2C. Como se señalo antes, por la rigidez de la esfera, A1B1=A2B2 puesto que C es por construcción equidistante de A1, A2, B2, se tiene también que A1C=A2C=B2C. Como resultado, los triángulos esféricos A1CA2 Y B1CB2 soncongruentes y los ángulos A1CA2 Y B1CB2 son iguales. Denotando por θ el valor común de estos ángulos, se concluye que la esfera puede llevarse desde su posición inicial hasta su posición final mediante una sola rotación θ alrededor del eje OC

Se concluye que el movimiento durante el intervalo de tiempo Δt de un cuerpo rígido con un punto fijo O puede considerarse como una rotación Δθ alrededor decierto eje. Al dibujar a lo largo de ese eje un vector de magnitud Δθ/Δt y al dejar que Δt tienda a cero, se obtiene en el limite del eje de rotación instantáneo y la velocidad angular ω del cuerpo en el instante considerado (figura 15.32) la velocidad de la partícula p del cuerpo puede obtenerse entonces como en la sección 15.3, formando el producto vectorial de ω y el vector de posición r.

V=dr/dt = ω x r

La aceleración de la partícula se obtiene diferenciando (15.37) con respecto a t. como en la sección 15.3 se tiene.

a= α x r + ω x (ω x r )

Donde la aceleración angular α se define como la derivada

α = dω/dt

De la velocidad angular ω

En el caso del movimiento de un cuerpo rígido con un punto fijo, la dirección de ω y del eje de rotación instantáneo cambia de uninstante a otro. La aceleración angular α refleja consecuentemente el cambio de dirección de ω, así como su cambio de magnitud y, en general, no esta dirigida a lo largo del eje instantáneo de rotación. Si bien las partículas del cuerpo ubicadas en el eje de rotación instantáneo tienen velocidad cero en el instante considerado, no tienen aceleración cero. Además, la aceleración de las diversaspartículas del cuerpo no puede determinarse como si el cuerpo estuviera rotando de manera permanente alrededor del eje instantáneo.

Si se recuerda la definición de velocidad de una partícula con vector de posición r, se advierte que la aceleración angular α como se expresa en (15.39), representa la velocidad de la punta del vector ω. Esta propiedad talvez sea útil en la determinación de la...
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