Punto Fijo

CEROS DE FUNCIONES
“MÉTODO DE PUNTO FIJO"
Mg. Patricia E. Alvarez Rodriguez

Universidad Privada Antenor Orrego
Trujillo – Agosto del 2012

Método de Punto Fijo

Problema
Sea
f (x) = 0

encontrarx

⇒

cero

Método de Punto Fijo

¿Cómo se realiza?
Transformar
f (x) = 0

⇒

x = g(x)

Método de Punto Fijo

Proceso iterativo
Valor inicial
Primera iteración
Segunda iteración
Tercera iteración...
...
i-esima iteración
(i + 1)-esima iteración

x0
x1 = g(x0 )
x2 = g(x1 )
x3 = g(x2 )

xi = g(xi−1 )
xi+1 = g(xi )

Método de Punto Fijo
Ejemplo
Encuentre una solución de la ecuación
f (x) = 2x 2 −x − 5
con x0 = 2.

Método de Punto Fijo
Ejemplo
Encuentre una solución de la ecuación
f (x) = 2x 2 − x − 5
con x0 = 2.
Solución:
Caso 1.
x = g(x) = 2x 2 − 5
La sucesión x0 , x1 , x2 , ... diverge.Método de Punto Fijo
Ejemplo
Encuentre una solución de la ecuación
f (x) = 2x 2 − x − 5
con x0 = 2.
Solución:
Caso 1.
x = g(x) = 2x 2 − 5
La sucesión x0 , x1 , x2 , ... diverge.
Caso 2.
x +5
2
Lasucesión x0 , x1 , x2 , ... converge.
x = g(x) =

Método de Punto Fijo

Criterio de convergencia
Para determinar si la sucesión x0 , x1 , x2 , ... esta convergiendo o
divergiendo a una raíz x, cuyo valorse desconoce, puede
calcularse en el proceso iterativo la sucesión
f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ), ... si dicha sucesión tiende a cero, el proceso
converge a x, y dicho proceso se continuará hasta que
|f(xi )| < ε1 . Si f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ), ... no tiende a cero, la sucesión
x0 , x1 , x2 , ... diverge a x y el proceso deberá detenerse y elegir
un nuevo g(x).

Método de Punto Fijo
EjemploEncuentre una aproximación a una raíz real de la ecuación
cos x − 3x = 0 con x0 = π8 .

Método de Punto Fijo
Ejemplo
Encuentre una aproximación a una raíz real de la ecuación
cos x − 3x = 0 con x0 = π8 .Solución:
Caso 1.
x = g(x) = cos x − 2x
La sucesión x0 , x1 , x2 , ... diverge.
Se detiene el proceso porque f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ), ..., no
tiende a cero. Luego se inicia un nuevo proceso con
x0...